Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
^Ферми -
ехр[(? - ц)/кТ\+1
(8.19)
Эта формула выводится аналогично (8.16) и называется распределением
Ферми- Дирака. Мы приводим ее здесь без вывода. Химический потенциал ц в
(8.19) обычно называется энергией Ферми. Как и для бозонов, его величина
определяется числом частиц.
Заметим, что при распределении Ферми п не может быть большим единицы, так
как в знаменателе (8.19) к единице прибавляется существенно положительная
величина. Этого, конечно, и следовало ожидать, поскольку принцип Паули не
позволяет двум частицам находиться в одном квантовом состоянии. Каждое
состояние может быть либо занято, либо свободно, - в среднем занято
меньше чем один раз. Это простое рассуждение позволяет запомнить, что
между экспонентой и единицей в знаменателе распределения Ферми стоит знак
плюс, а в знаменателе распределения Бозе - знак минус.
В системе частиц, занимающей объем V, распределение частиц, по импульсу в
классической физике определяется (8.1)1:
dN = A exp(--j^JV dpx dpy dpz = A exp (~
lB (8.1) объем V входит в нормировочную константу А.
§40. Заполнение уровней
215
или
dN = A(?9lexI,(-?)^?dE. (8.20)
2J + 1 PV кТ) (2тгН) dE v '
Множитель + \ 4"r;dE равен числу квантовых состояний a(E)dE (2nh) dE н
J J
в интервале энергии dE (см. (8.9)). Преобразуем первый множитель формулы
(8.20), введя потенциал и по формуле
I (2тгН)3
*"'¦ - (8-21)
После этого распределение Максвелла принимает вид
dN =------------------д(Е) dE.
exp^E1 - fi)/kT\
Сравнивая эту формулу с (8.15), найдем, что число частиц п, приходящихся
на одно квантовое состояние, определяется множителем Больцмана, имеющим
вид
п =-----------------. (8.22)
ехр [(Е-ц)/КГ\
Эту формулу и следует сравнивать с (8.17) и (8.19). Распределения (8.17),
(8.19) и (8.22) изображены на рис. 84. При больших значениях аргумента,
когда среднее число частиц, приходящихся на каждый уровень, оказывается
много меньше единицы, все три распределения совпадают - квантовые
распределения переходят в классическое.
Рассмотрим распределение Ферми при низких температурах. Если энергия
состояния хотя бы и не намного (на несколько кТ) превосходит энергию
Ферми jn, то в знаменателе формулы (8.19) появляется очень большое число,
и заполнение оказывается малым: при низких температурах уровни,
расположенные выше энергии Ферми, не заполнены. Если, наоборот, энергия
уровня меньше энергии Ферми (на несколько кТ), то экспоненциальный
множитель мал и почти ничего не прибавляет к единице. Уровни,
расположенные ниже энергии Ферми, заполнены. Между этими областями
имеется область, ширина которой по порядку величины равна нескольким кТ.
В этой области происходит переход от заполненных уровней к пустым. При
низких температурах этот переход очень резок, так что все нижние уровни,
вплоть до некоторого, полностью заняты, а все верхние - совсем пусты.
Вопрос о том, какие температуры являются достаточно низкими, зависит от
конкретной ситуации, т. е. от плотности уровней и от числа имеющихся
частиц
216
Глава 8
Рис. 84. Распределения Бозе, Ферми и Больцмана.
(точнее - от их плотности, т. е. от числа частиц в единице объема). Для
протонов и нейтронов в ядрах и для электронов в твердых телах "достаточно
низкими" оказываются обычные температуры.
Обратимся теперь к распределению Бозе. Число частиц, которые могут
находиться на одном уровне, при распределении Бозе не ограничено единицей
и при малых значениях (Е - ц)/кТ может оказаться очень большим. Скопление
частиц на нижних уровнях характерно и для классического распределения
Максвелла - Больцмана. У бозонов это скопление выражено еще сильнее.
Более того, при достаточно низких температурах в одном-единственном
состоянии с Е = 0, несмотря на его равный нулю статистический вес (см.
(8.11)), скапливается конечное, а иногда и большое число частиц. Это
явление носит название бозе-конденсации, а совокупность частиц с Е = 0
называется бозе-конденсатом или просто конденсатом. С образованием
конденсата связаны явления сверхтекучести и сверхпроводимости.
Появление бозе-конденсата при низких температурах легко понять,
анализируя (8.18). Запишем эту формулу для инфинитного движения, когда
распределение частиц по энергии является непрерывным, для чего заменим
сумму
§40. Заполнение уровней
217
интегралом. Статистический вес состояния возьмем из (8.11):
оо
N = (2J + 1) "*3/2 V [------------ VEdE -------------
V2 7T2ft3 J ехр[(_Е - ц)/кТ] - 1
Исследуем эту формулу. Знаменатель подынтегрального выражения определяет
среднее число частиц в состоянии с энергией Е и должен быть положительной
величиной. Для этого необходимо, чтобы exp[(L - ц)/кТ\ было больше
единицы, а значит, чтобы Е - ц не принимало отрицательных значений ни при
каких Е, включая Е - 0. Из этого требования следует, что
(8.24)
Теперь нетрудно показать, что при достаточно низких температурах формула
(8.23) не может выполняться, так как правая часть оказывается меньше
левой. Исследуем входящий в нее интеграл. При выполнении условия (8.24)
