Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
5. Ядерные силы обладают насыщением. Одним из выражений этого свойства
является независимость удельной энергии связи ядра от его массового
числа. Мы уже знаем, что ?св ~ const, и Есв ~ А. Если бы насыщения не
существовало, то Есв была бы пропорциональна А2.
6. Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов
взаимодействующих частиц. Так, связанное состояние системы п - р
существует только при параллельной ориентации спинов нуклонов, и у ядра
дейтерия, в состав которого входят один протон и один нейтрон, спиновое
квантовое число 1 = 1. Перечисленные свойства ядерных сил позволяют
построить ряд моделей ядра, с некоторыми из которых мы познакомимся в
§74. Но сначала полезно рассмотреть дейтрон d - ядро атома дейтерия 2D.
Элементарная теория дейтрона. Связанных состояний у систем п - п и р - р
нет. У системы р - п существует одно связанное состояние. Это - дейтрон
d.
Как известно, простейшим атомом является атом водорода ^Н, в состав
которого входят всего две частицы: протон р, являющийся ядром атома, и
электрон е~. Квантовомеханическая теория этого атома позволила полностью
описать все его особенности: структуру энергетических уровней, спектр
излучения, поведение этих атомов в электрических и магнитных полях и т.
д.
Построить законченную квантовую теорию дейтрона пока не удается, так как
неизвестен вид потенциальной функции U, определяющей форму потенциальной
ямы.
Попробуем воспользоваться короткодействием ядерных сил и применим к
дейтрону модель сферически симметричной потенциальной ямы: U = U(r) (рис.
147). Изображенная на этом рисунке потенциальная яма имеет следующие
особенности: при г > rd U(г) = 0; при га > г > Ъ потенциал постоянен и
равен Uq\ в области /, где 0 < г < Ъ, будем считать U(r) -> оо (на это у
ка-
362
Глава 14
зывает сильное отталкивание между нуклонами, проявляющееся в опытах по
рассеянию быстрых нуклонов при очень малых расстояниях между ними).
Опыты по изучению реакции п+р -> d + 7, в которых Е1 может быть измерена
очень точно, дают для энергии связи дейтрона значение Есв = 2,224 МэВ.
Это означает, что на расстоянии, равном -2,224 МэВ от края ямы, есть
уровень, который соответствует связанному состоянию п-р системы. Других
связанных состояний у дейтрона нет. Для системы, обладающей сферической
симметрией, решение уравнения Шредингера, не зависящее от углов О и (р,
определяется волновой функцией, зависящей только от г : и(г). Им мы и
займемся. Для случая, когда орбитальный момент системы равен нулю,
уравнение для и(г) имеет простой вид:
где т = mi7712/(7711 + 777-2) - приведенная масса системы, равная в нашем
случае тяукл/2.
В область /, где U(r) = 00, нуклоны попасть не могут. В области II U(r) =
-Uo и Е = -Есв. В области III U(г) = 0.
Рассмотрим область II: В этой области уравнение Шредингера приобретает
вид:
h2 d2u\\
2777 dr2
+ (Uo - ECB)un = 0.
Рис. 147. Потенциальная яма дейтрона.
Решением этого уравнения является функция иц(г) = A sin kr + В cos kr,
где волновое число k\\ = у/2m(Uo - ECB)/h. Из условия непрерывности
волновой функции на левой границе области (при г = b щ\ = 0) получаем,
что В = 0, так что
щ\ = Asin кц(г - Ъ). (14.11/)
Уравнение Шредингера в области III:
h d2u\\\
2777 ^r2
- ECBum = 0. Его решени-
ем является функция г^щ = Сехр(-кщг) + D ехр(/сшг), где km = y/2mECB/h.
Т. к. D ехр(/сшг) -> оо при г -> оо, то D = 0 и
= С ехр(-/сщг)
(14.11")
В равенствах (14.11;) и (14.11//) А и С - нормировочные константы. Из
условий сшивки следует, что при г = га равны и функции и\\ и и\\ь и их
первые производные. Применив эти условия, получаем два уравнения:
A sin kn(rd - Ъ) = С ехр(-fonT'd), Акп cos kn(rd - Ъ) = -Скщ exp(-kmrd).
§74. Модели атомного ядра
363
Разделив первое уравнение на второе, получаем:
<14л2>
Мы получили уравнение, связывающее Есв = 2,224 МэВ с Uo, г а и Ъ.
Величины Uo, га и b можно считать подгоночными параметрами. Из опытов из-
вестно, что Ь = (0,3 0,4)1(П13 см, г^сч " 1,3 • 21/3 • 1(П13 " 1,6 •
1(Г13 см,
а rfcn ~ 2,15 • 10-13 см. Меняя эти параметры в уравнении (14.12) можно
по-добрать оптимальные значения радиуса ямы и ее глубины. Они оказываются
следующими: ^ 2 • 10-13см и Uo ^ 40 МэВ. Обсудим эти результаты. На
первый взгляд, расчет нас никуда не продвинул, так как для объяснения
одного параметра (Есв) нам потребовалось несколько. На самом деле это не
так. Радиус дейтрона, как этого и следовало ожидать, совпадает с уже
приведенным ранее радиусом действия ядерных сил. Глубина потенциальной
ямы Uo, полученная в этом расчете, хорошо описывает не только дейтрон, но
и другие ядра.
Магнитный момент дейтрона определен методом магнитного резонанса очень
точно: pd = (0,85741 d= 0,00002)//дг. Сумма магнитных моментов протона и
нейтрона равна: рр + рп = 2,79284//дг - 1,91315/^аг = = 0,87969//аг.
Таким образом, магнитный момент pd не равен сумме магнитных моментов
нуклонов, причем различие (на 2,5%) выходит за пределы возможной
