Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
п=0
х(пТ) = - 5] Х(к)Щкп, н = 0,..., IV-1, (1-20)1
rN
Ю) f. •
-у
где х(пТ), (я=0,..., N-1)-последовательность из N временных отсчетов с
периодом Т; X{k) (k=0, ..., N-1) ¦-последовательность из N частотных
отсчетов; WN=e~l 2n/N, i= ~[/ -1, называется дискретным преобразованием
Фурье (ДПФ).
Преобразование (1.19) называется прямым, а преобразование (1.20) -- об-
ратным ДПФ (ОДПФ).
Гв матричной форме ДПФ имеет вид
X = Ww х, (1.21)
где X и х - N-мерные векторы: Х=[Х(0), Х(1),..., X(N-1)]т; х= [х(0),
х(Т),..., x{{N-1)Г)]Т; Wn - матрица размера NX.N с элементами d (п, k) =
s=l^wnfc=^wnft(modw)j п, k=0,..., N- Обратное ДПФ записывается в виде
x = W^X,
П ^ ..J
где W-1w-матрица, обратная к матрице Ww. Элементы W_tw равны d-l(n,k) = -
ь=
N N
Дискретное преобразование Фурье вводится для представления как
периодических последовательностей с периодом N отсчетов, так и
последовательностей конечной длины N. Коэффициенты ДПФ конечной
последовательности равны значениям ее 2-преобразования в N точках,
равномерно распределенных
2nk
по единичной окружности, т. е. X{k) =X{z) |z=e*-jy-, k=0,..., N-1.
Сопоставляя Фурье-преобразование и ДПФ, можно отметить следующее. Фурье-
преобразование и понятие "спектр" относятся к бесконечной
последовательности х(пТ) в целом [см. (1.10)]. В тех случаях, когда речь
идет о преобразованиях спектра бесконечной последовательности в целом
[см., например, (1.11), (1.12)], ДПФ применяется относительно редко. Так,
сдвиг спектра [см. (1.12)] н инверсия спектра (см. пример 1.5)
выполняются умножением отсчетов х(пТ) на множители, зависящие от п.
Цифровая фильтрация (см. разд. 2), реализующая изменение спектра входного
сигнала по заданному закону, также выполняется, как правило, без
применения ДПФ. Исключением, но весьма важным является применение ДПФ для
вычисления линейной свертки (см. 1.4.3), что в сочетании с методами
секционирования свертки (см. 1.4.4) позволяет эффективно реализовать
нерекурсивную цифровую фильтрацию бесконечной последовательности (см.
разд. 2).
Дискретное преобразование Фурье [см. (1.19) и (1.20)] выполняется над
конечной последовательностью N отсчетов или над периодической
последовательностью, у которой период состоит из N отсчетов. Поскольку
характеристики спектра последовательности, такие как спектральная
плотность мощности, амплитуды и фазы отдельных частот (см. разд. 8),
определяются всегда с использованием конечного числа отсчетов этой
последовательности, ДПФ является одним из важнейших средств их
определения.
1.3.2. Свойства дискретного преобразования Фурье
Линейность. Если X(k) и Y(k) есть ДПФ последовательностей х(пТ) и у(пТ)
соответственно, то ДПФ последовательности ах(пТ)+Ьу(пТ), где а и Ь -
произвольные константы, равно aX(k)-\-bY(k).
Сдвиг. Пусть X(k)-ДПФ последовательности х(пТ), а последовательность
у(пТ) получается из последовательности х(пТ) путем сдвига (в случае
конечной последовательности - кругового сдвига) на По отсчетов (рис.
1.4). Тогда ДПФ последовательности у(пТ) равно Y(k) -X(k)
Аналогичный результат справедлив для сдвига коэффициентов ДПФ. Если X{k)
и Y(k) есть ДПФ последовательностей х(пТ) и у(пТ) соответственно и
Y(Jt)=X(k-k0), то y(nT)=x(nT)W^nk'.
На рис. 1.4 приняты следующие обозначения: хи(пТ)-периодическая
последовательность, причем хи(пТ)=х(пТ) при я=0, 1,..., ЛГ- 1; хш((п-
п0)Т) - периодическая последовательность, сдвинутая относительно ха{пТ)
на пв отсчетов; х((п-пв)Т)-конечная последовательность, полученная
круговым сдвигом х(пТ) иа "о отсчетов; х((п-п0)Т) =хв({п-пв)Т) при n=0,
1,..., N-1.
Свойства симметрии. Если последовательность х(пТ) является
действительной, то ее ДПФ удовлетворяет следующим условиям симметрии:
V
Re (Л (ft)) = Re (X (N-k)); Im (X (ft)) = - Im (X (N-k));
|Л(*)| = |Л(Л^-k)\-, argX (ft) =-aigX(N-ft).
Дискретное преобразование Фурье симметричной последовательности x(nT)-
x((N-п)Т) является действительным.
•ХЛпТ>
N-1
О)
' х"Цп-п")Т), П0=.г
пТ
х((п-щ)Т)
ПТ
Jllll
О 1 Z
N-1
г)'
m
Рис. 1.4
Свойства симметрии позволяют с помощью' одного ДПФ преобразовывать
одновременно две действительные последовательности. Пусть действительные
последовательности х{пТ) и у{пТ) имеют ДПФ X(k) и У (ft) соответственно,
а последовательность u(nT)-x(nT)-\-iy(nT) имеет ДПФ [/(ft) =X(ft)+iy(ft).
Тогда:
Re (X (ft)) = [Re (U (ft)) + Re (U {N-ft))]/2;
Im (У (ft)) == [Re (V (N-k))-Re (U (ft))]/2;
Re (Y (ft)) = [Im (U (ft)) + Im (U (N-k))]/2;
Im (X (ft)) = [Im (U (ft))-Im (U (N-k))]/2.
Круговая свертка (см. 1.4.1). Пусть х(пТ) и у(пТ) имеют ДПФ X(k) к У (ft)
соответственно. Если последовательность и(пТ) равна круговой свертке
последовательностей х(пТ) и у(пТ):
N-1
и(пТ)=53 х(1Т)у((п-1)Т),
1=0
я = О,..., N-1,
то ее ДПФ равно U(k)-X(k)Y(k).
Если х(пТ) и у(пТ) имеют ДПФ X (ft) и У (ft) соответственно, то ДПФ
последовательности и(пТ)=х(пТ)у(пТ) равно (с точностью до постоинного
множителя) круговой свертке X (ft) и У (ft):
