Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
¦фильтр всегда устойчив.
Условие (2.9) неудобно использовать для проверки устойчивости рекурсивных
фильтров. Первый критерий устойчивости РФ, удобный для практической
проверки, формулируется следующим образом 1[2.4]: если передаточная
функция фильтра представляет собой несократимую дробь, то для
устойчивости фильтра необходимо и достаточно выполнение условия
|z/| < 1, /=1, 2,..., Л4-1, (2.10)
где zi - полюс (корень знаменателя) функции Я (г), т. е. все полюсы
должны .лежать внутри единичной окружности на 2-плоскости (рис. 2.8);
z=a+i|3.
Пример 2.8. а) #i(z) = (l-г-1)/( 1-0,3z-1); полюс гР))=0,3 (см. рис.
2.8); [г<1>1[<1; фильтр устойчив.
б) Я2(г) = (1-г-*)/(1-2z-'); полюс z<2>i=2 (см. рис. 2.8); |z<2>i|>l;
фильтр неустойчив;
в) Яз(г) = (1-z~2)/(l-l,8z-I+0,97z-2); полюсы z<3>i=0,9+i0,4; z<3>2=0,9-
-Ю,4 (см. рис. 2.8); |z(3>[| = |г<3>2|<1; фильтр устойчив;
г) Я4(г) = ( 1-z-2)/( 1-2,4z-I+l,69z-2); полюсы z<4>i= 1,2+Ю,5;
z(4>2=1,2- -i0,5 (см. рис. 2.8); |z(4>i| = |z(4>2|>1; фильтр неустойчив;
д) H(z) = ( 1-z~2)/( 1-z_1). Так как H(z) = 1 +z_1; фильтр устойчив.
Неустойчивый фильтр, безусловно, неработоспособен в том случае, когда
входной сигнал действует неограниченно долго, так как рано или поздно
выходной сигнал перестает зависеть от входного. Он работоспособен и
практически используется в тех случаях, когда входной сигнал действует в
течение ограниченного интервала времени. Например, цифровой интегратор с
передаточной функцией Я(г) = 1/(1-z_1) (эта функция имеет полюс z=l, т.
е. фильтр неустойчив) вполне работоспособен, если входной сигнал х(пТ)
действует при 0^ <n<N-1, после чего следует сброс, т. е.
восстанавливаются нулевые начальные условия.
54
2.3. ЧАСТОТНЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ
2.3.1. Частотные характеристики
Комплексные частотные характеристики представляют собой функции,
полученные в результате подстановки z=e1(r)T в передаточные функции (2.3) и
(2.4):
At- 1
2 bi<TUaI
Яр (е1 "*) =----------^---------------; (2.11)
1+
/= 1
Ян(е'вГ)=2 bieTil(S>T. (2.12)
1=0
Модуль комплексной частотной характеристики А(<в)= |Я(е*е>т) |,
называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, определяет
амплитуду выходного сигнала устойчивого фильтра в установившемся режиме
при входном сигнале x(nT)=ein(r)T.
Аргумент комплексной частотной характеристики ф(<в)=агд[#(е*ит)],
называемый фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) фильтра, определяет фазу
выходного сигнала устойчивого фильтра при входном сигнале x(nT)-ein(r)T.
Очевидно, что для фильтров с вещественными коэффициентами справедливы
соотношения:
Ap(co)=ltfp(eito7')l =
\2 !N-\
2 bi cos I "в T j + 2 bl sin / со T l=o________________/ \/=o_________
At-1 \2 j At-1
2 ai cos / со T j + I 2 aJ i ш ^
!=oi )¦ \i= о
V
Г At- 1 At-1
! 2 2 bmbk cos (tn - k)(?)T
m=0 /?o
M-1 M- 1
2 2 apas oos (p-s)wT
p=0 s=0
(2.13'>
где a0=l;
A-1
2 bi sin l "в T
Фр (со) = arg [Hv ( e' " r)] == - arctg
At-1 1
2 bi cos I a T
i=o
At-1
2 aj sin / со T
+ arctg?r ; (2-13">
2 aj COS j со T
/=0
55
/ IN- 1 \2 I N-1 \ 2
Лн(с)) = 1ЯН( eIt0 г)|= у (Jj bicosl(?>T \ +(2 bisinlaTJ =
ГN- 1 N- 1
= l/ 2 S bmb^{m-k)aT\ (2.14')
' m-0 k=0
N-1
2 fcj sin /аГ
Фн (и) = arg [Я ( e' " г)] = - arctg ---------. (2.14")
2 bi cos ImT l=o
Групповое время замедления (ГВЗ)
т(со)=-d(p/da (2.15)
равно времени задержки в установившемся режиме выходного сигнала фильтра
относительно входного сигнала х{пТ) =einto1'.
Пример 2.9. Пусть H(z) =2+0,5z-1-z~2. Из (2.12), (2.14) и (2.15)
получаем:
Н( eitor) = 2 + 0,5 e-itor-e-i2" т\
А (<в) = ~V(2 + 0,5 cos (в Т - cos 2 со Г)2 + (0,5 sin ю Т-sin 2 <в Г)2;
, , О.БбШшГ-sm2?oT
<р (<в) = -arctg -- ------------------ :
2+ 0,5 cos coT-cos2(oT
1 (ш) = [(2 + 0,5-cos ц> Т-cos 2иГ) (0,5 TcosmT-2Tcos2a>T) -
- (0,5 sin "в T-sin 2 шТ) (- 0,5 Tsino) Т + 2 Т sin 2 со Т)\.
Пример 2.10. Пусть Я(г)=1/(1-0.5Z-1). Из (2.11), (2.13) и (2.15)
получаем:
H(eiaT) = - 1
1-0,5е-1сйГ '
А (со) - . - =т ;
У(1- 0,5 cosmr)2+(0,5sincoT)2
0,5 sin со Т
Ф (<в) = arctg ¦
1-0,5 cos (в Т
1 (о) = -- 1 - [(1 -0,5 cose) Т) 0,5 Т cos"(b Т-0,5 sin со Т 0,5 Т sin (в
Т\.
А' (о)
Пример 2.11. Пусть Я(г) = 1+0,5 z-1 и х(пТ) =sinпаТ, (в=2п 2000 с-1, Т=
1/8000 с. Из (2.12), (2.14) и (2.15) для установившегося режима получаем:
Ууст (пТ)=А (со) sin [п со Г + ф (е>)] = ~[/1,25 sin (п п/2-arctg 0,5);
т= Г/4=31,25 мкс.
На рис. 2.9,а изображена структурная схема фильтра с передаточной
функцией H(z) = l+0,5z_1, на рис. 2.9,6 - временные диаграммы х(пТ),
у{пТ) при нулевых начальных условиях и г/уСт (иТ), построенные по данным
примера 2.11.
Устройства цифровой обработки способны обрабатывать лишь аналоговые -
сигналы с ограниченным спектром (см. 1.1.2). Если частота дискретизации
аналогового сигнала выбрана в соответствии со значениями (ва min И СО a
max (см.
56
1.1.2), то характер частотных характеристик в диапазоне частот от 0 до
<вд/2= =п/Т полностью определяет изменение спектра аналогового сигнала,
