Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Di = f(x-a)2p(x)dx =-----------f(x-a)2e 2а*~ dx.
о VbF
Произведем под интегралом замену переменных, положив х-а
z = ------- ,
о
при этом
D?= / z2 e~z* !2dz.
\[Ът
Интегрированием по частям находим, что
fz2e~z*/2dz = / - ze~z*!2 + fe~z*/2dz = \/2тг.
§ 24. Дисперсия
167
Таким образом, окончательно D % = о2.
Мы выяснили, таким образом, вероятностный смысл второго параметра, определяющего нормальный закон. Мы видим, что нормальный закон распределения полностью определен математическим ожиданием и дисперсией. Это обстоятельство широко используется в теоретических изысканиях.
Заметим, что и в случае нормально распределенной случайной величины дисперсия позволяет судить о рассеянии ее значений. Хотя при любых положительных значениях дисперсии нормально распределенные случайные величины могут принимать все вещественные значения, все же рассеяние значений случайной величины будет тем меньше, чем меньше дисперсия; при этом вероятности значений, близких к математическому ожиданию, будут больше. Это обстоятельство было отмечено нами в предыдущей главе при первоначальном знакомстве с нормальным законом.
Пример 3. Найти дисперсию случайной величины X, рассмотренной в примере 4 § 23.
Сохранив обозначения примера 4, находим, что
1 к п
M(X2|5fe)=- ( 2 (k-i)2a2 + 2 (i - к)2а2) =
И 1=1 i=fc+l
а2
= — [(* — 1) - к(2к - 1 ) + (п-к)(п-к+ 1) (2л - 2к + 1)] =
6 п
а2
= — [6к2 — 6(п + 1)?; + (2п + 1) (п + 1)]
6
и, следовательно,
М(Х2) = - 2 М(Х2\Bk) =
П к = 1
а2 а2
= — [«(« + 1) (2п + 1) - 3(n + 1 )2п+п(п + 1) (2п + 1)] = — (и2 - 1).
6 п 6
Отсюда следует, что
а2 а2(п2 — I)2
D(X) = М(Х2) — (MX)2 = 7(п2~ 1)-----------^---—- =
6 9п
а2{п2 - 1)(и2 +2) /2 / 2 1 2
- - _ — j j + -------------------------- +----------+ ------------
18л 18 \ л - 1 ,г(п - 1) л2(л - 1)
168
Гл. 5. Числовые характеристики
Дисперсией п- м ерной случайной величины (?i, ?2. • • • » ?п) называется совокупность п2 постоянных, определяемых формулой
bjk = //... f(Xj - М?;.) (хк - Мt,k)dF(x1,x2....х„)
(1 < к < п, 1 < / < п). (4)
Так как при любых вещественных гД 1 < / < п)
/.../{ 2 t/ixj - Мxj)}2dF(x1,x2,. . . ,х„)= 2 2 bikt tk > О,
/=1 /=1 *=i
то, как известно из теории квадратичных форм, величины bjk удовлетворяют неравенствам
in
b21
Ъ1 2 t>22
Ьцс
к
Ькк
> 0 при к = 1, 2, . . . , п.
bkl Ьк2 Очевидно, что
Ькк = D?fc-
Величины при к Ф / называются смешанными центральными моментами 2-го порядка величин и %к; очевидно, что b/k = bkj.
Следующая функция от моментов второго порядка
Ьц
га =
V ЬцЬц
носит название коэффициента корреляции между величинами ?;. и . Коэффициент корреляции является мерой силы связи (линейной связи) между величинами ?(- и Величина коэффициента корреляции, как это следует из неравенства Буняковского, заключена в пределах (—1, +1).
Значения ±1 достигаются только в случае, когда ? и 17 связаны линейной зависимостью.
В дальнейшем мы увидим, что для независимых величин коэффициент корреляции равен нулю.
Пример 4. Найти дисперсию двумерной случайной величины (? t, ?2 ) > распределенной по невырожденному нормальному закону
р(х,у) =--------------X
X ехр
2жохо2\[\
1
2(1 -г3)
- г
(х
af
о\
- 2 г
(х-а)(у-Ь) (y-bf
0\02
o\
§ 25. Теоремы об ожидании и дисперсии 169
Согласно формуле (4) и результатам примера 2 настоящего параграфа и примера 1 § 23, находим, что
D?i = о2, D?2 = о\ ¦
Далее,
612=621 =ff(x - а) (у - b)p(x,y)dx dy =
1 (у-ьУ
fe 202 dy X
2тг0\02у/ 1 -
f 1 /х-а V - 6 \21
X f(x -a)(y- ft)exp - —----------— I---------r-------- I ,dx.
t 2(1 —r) \ ox o2 > I
Заменой
1 I x - a у - b \ у - b
