Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р {В(\А} =pU/) -Р {A\Bj) ц 2 Р{В/} ?{А\В;}).
/= 1
Более того, этот принцип Лапласа содержит и формулу полной вероятности, которой с начала XVIII века широко пользовались в своих работах многочисленные математики, работавшие в области теории вероятностей. Они понимали как использовать принцип, заложенный в формуле полной вероятности, но его не формулировали.
412
Гл. 2. Период формирования основ
Мы видим, таким образом, что основные принципы действия с вероятностями вычленялись длительным путем. Их многократно использовали при решении отдельных задач и использовали правильно, но не формулировали их в качестве особых предложений. И потребовалось почти целое столетие, чтобы после введения в науку понятия вероятности сформулировать для этого понятия систему правил действия с ним. Как постоянно происходит в истории науки, такие правила широко использовались фактически, но потребности в их формулировании не ощущали. Попутно при этом вводились и дополнительные понятия, которые позволяли глубже вникать в природу вещей. В нашем случае этими понятиям являются понятия несовместимости и независимости случайных событий.
§ 10. Задача о разорении игрока
Несомненно, что задача о разорении игрока в развитии теории вероятностей играла серьезную роль — она позволяла оттачивать методы решения сложных вопросов и в какой-то мере является исходным пунктом для развития теории случайных процессов. Действительно именно в этой задаче впервые начали изучать состояние системы в зависимости от времени. Точнее - положение игроков после заданного числа партий. Задача о разорении игрока была впервые сформулирована Гюйгенсом в книге ’’О расчетах в азартных играх” (см. § 5 первой главы настоящего очерка, задача 5). Этой задачей занимались многие выдающиеся математики прошлого -Я. Бернулли, Н. Бернулли, Муавр, Лаплас и др. Интересно отметить, что Я. Бернулли критиковал Гюйгенса за то, что тот решал и предлагал трудные задачи, но не в буквенной форме, а в числовом виде и тем самым ограничивал возможности выявления общих закономерностей.
Первые подходы к решению задачи о разорении игрока почти одновременно были предложены тремя математиками - П. Монмором (1687-1719), А. Муавром и Н. Бернулли (1687-1759). Их результаты относились к 1710-1711 г. Задачи Гюйгенса в их формулировке слегка преобразилась и приобрела привычный для нас вид: игроки А и В имеют соответственно а и Ь франков и при каждой партии некоторой игры один из них выигрывает у другого 1 франк. Вероятность выигрыша игрока А для каждой партии равна р, для игрока В вероятность выигрыша равна q = 1 - р. Спрашивается, чему равны вероятности ра и рь того, что игрок А выиграет (соответственно игрок В) игру (т.е. игрок А выиграет все деньги В раньше, чем В выиграет их у А).
Муавр опубликовал свои результаты в журнале Philosophicol Transactions за 1711 г. Он нашел, что
и что математическое ожидание числа N необходимых для завершения игры партий равно
Ему же удалось найти вероятности рв п и рь,п того, что игрок А выиграет игру за п партий (соответственно выиграет игру за п партий игрок В). В современных обозначениях искомая формула имеет следующий вид:
_(qlp)a-i (plq)b — 1
Ра (q/p)a+b - 1 ’ Pb (plq)° + b- 1
p-q
n-b — 2ts-2a — iqi_qn-b-2ts — 2a — ipi^
q -q p
P'))
§11. Предельные теоремы теории вероятностей
413
Здесь введено обозначение s = а + Ь; суммирование распространяется на те значения ?, при которых все показатели неотрицательны.
Вдобавок им был подробно рассмотрен случай, когда а =
В 1710 г. формулы для Ра,п< Рь,п в случае р = q нашел Монмор. Свои соображения он переслал Иоганну Бернулли, который передал письмо своему племяннику Николаю. Ответное письмо Николая Бернулли от 26 февраля 1711 г. содержало решение и для случая р Ф q. Это письмо Монмор опубликовал в 1713 г. в трактате ’’Опыт анализа азартных игр” (P. Monmort, Essai d’analyse jeux asard).
Я. Бернулли также рассматривал задачу о разорении игрока, как в частных случаях (для а = Ь = 2), так и в общем случае. При ее решении он следовал методу Гюйгенса и получил довольно далеко идущие результаты (для вероятностей ра и рь).
Рассмотрение решений, предложенных Я. Бернулли, Н. Бернулли, Монмором и Муавром, ясно показывают, что все они владели приемами оперирования с вероятностями сложных событий. Практически они безукоризненно точно1 использовали теоремы сложения и умножения вероятностей, а также формулу полной вероятности, хотя в ту пору они еще не получили четкой формулировки. Происходило накопление опыта и выделение тех правил, которые постоянно необходимы при подсчете вероятностей сложных событий.
§ 11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей
На последующее развитие теории вероятностей огромное воздействие оказала идея, впервые высказанная и осуществленная Я. Бернулли - рассматривать не только точные решения задач теории вероятностей, но и их асимптотические постановки при неограниченном увеличении некоторого параметра. Конечно, в первую очередь следует указать в этом плане на закон больших чисел в форме Я. Бернулли. Именно он послужил источником для различного рода уточнений как в XVIII, так и в последующие столетия.
