Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Это место заслуживает пристального внимания, поскольку Кардано дважды предложил рассматривать отношение, которое теперь мы называем классическим определением вероятности. А именно, 1/6 — это вероятность появления заданного числа очков при бросании одной кости, а 11/36 - вероятность получить хотя бы на одной кости грань с заданным числом очков. Означает ли это, что Кардано решил рассматривать вместо чисел благоприятствующих шансов вероятности случайных событий, т.е. ввел в рассмотрение классическое определение вероятности? Судя по всему, это было озарение только для данного примера. Повидимому, Кардано хотел выяснить вопрос: что чаще происходит - при бросании одной кости выпадение заданного числа очков или же при бросании двух костей выпадение этого числа очков хотя бы на одной кости? Ответ был найден и на этом Кардано успокоился. Единичное наблюдение он не сделал основой для общего заключения. В результате он не заметил, что стоял на пороге введения важного понятия для всего дальнейшего развития большой главы математики, да и всего количественного естествознания.
Этот вывод подкрепляется тем, что в следующей главе, в которой рассматривается бросание трех костей, Кардано уже не обращается к отношению числа благоприятствующих шансов к числу всех возможных. Все усилия Кардано затратил на подсчет числа возможных случаев.
В тринадцатой главе ’’О сложных числах, как до шести, так и свыше и как для двух, так и для трех костей”, Кардано вновь возвратился к рассмотрению отношений числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев. Однако и здесь Кардано не заметил, что он находился на грани введения важного для науки понятия. Вот его подлинные слова: ’’Десять очков (в сумме - Б.Г.) может получиться из двух пятерок и из шестерки и четверки. Последнее сочетание возможно при этом в двух видах. Таким же образом девять очков может получиться из пятерки и четверки и из
§ 2. Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья
389
шестерки и тройки, так что это составляет 1/9 всей серии *) и две девятых ее половины. Восемь же очков получается из двух четверок, из 3 и 5 и из 6 и 2. Всего же 5 возможных случаев составляет приблизительно 1/7 часть из всей серии ... 7 очков составляется из 6 и 1, из 5 и 2, из 4 и 3. Всего, стало быть, имеется 6 возможных случаев, составляющих 1/6 всей серии. А 6 получается по такому же расчету, как и 8; 5 -как 9; 4 - как 10; 3 - как 11 и 2 - как 12”.
Вновь Кардано оперирует фактически классическим понятием вероятности, но не замечает его значения для изучаемых им задач. Рассматриваемые им отношения воспринимаются им скорее чисто арифметически, как доля случаев, чем как характеристика возможности появления случайного события при испытании.
В главе XI имеется одно предложение, которое рядом автором.трактуется весьма широко, хотя, как мы сейчас увидим, его формулировка достаточно неопределенная. Вот эти слова Кардано: ’’Целая серия игр не дает отклонения, хотя в одной игре это может случиться ... при большом числе игр оказывается, что действительность весьма приближается к этому предположению”. Ссылаясь на это место, В.В. Бобынин**) сделал далеко идущий вывод: ’’этот закон (больших чисел - Б.Г.) уже с достаточной ясностью был выражен в XVI столетии Карданом в его статье ”De ludo aleae”. Позднее О. Ope***) в книге, посвященной Кардано, писал, что этот последний формулировал и использовал закон больших чисел в рудиментарной форме. Вполне возможно, что мнение Оре имеет некоторые основания, но следует заметить, что формулировка Кардано весьма неопределенна.
В той же книге Кардано приблизился к определению безобидной игры, что видно из следующего предложения, заимствованного из этой книги: ’’Итак, имеется одно общее правило для расчета: необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов, которыми могут появиться данные выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможных выпадений, приблизительно в такой же пропорции определяются относительные размеры ставок для того, чтобы игра шла на равных условиях”. Однако мнение ряда авторов относительно того, что в этом месте Кардано приблизился к классическому определению понятия вероятности, мне представляется ошибочным.
Задача Пачоли о разделе ставки до окончания игры интересовала также и Кардано. В книге ’’Практика общей арифметики”, изданной в 15 39 г., Кардано привел ряд критических замечаний в связи с решением Пачоли. Он указал на то, что Пачоли, предлагая делить ставку пропорционально числу уже выигранных партий, никак не учитывает, как много партий еще нужно выиграть каждому из игроков. Согласно мнению Кардано, если s — число партий, которое следует выиграть, а р и q — числа фактически выигранных партий первым и вторым игроками, то ставка должна делиться между игроками в отношении
[1 + 2 + ... + (s — .?)] : [ 1 + 2 + ... + (j — р)].
Как мы увидим позднее, решение, предложенное Карданом, в общем случае ошибочно и лишь в некоторых весьма частных случаях оно приводит к правильному результату.
