Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
точке X = 0. Негладкие А рассматриваются, как и раньше, с помощью
ультрафиолетового обрезания. Для того чтобы намеченное здесь
доказательство было корректным, достаточно предположить, что C(t) (см.
§ 7.9) и что ядро C(t, х, у)
оператора C(t) удовлетворяет условию \C(t, х, у) | sg: const С(х, у) для
некоторого Се9. Фактически нужно рассматривать только простейший случай
C(t) = tCi -f (1 - t)Ci, C = 6C = Ci - C2.
(II) Гауссовы интегралы (§ 6.3)
>урье (Характ
S(f) = J ^<f>rfcpc = e-<cf. f>/2. (9.1.16)
Моменты:
$q>(f)te+,*pc = 0. $Ф(f)2ndcpc = (Сf, f)\ (9.1.17)
Скалярное произведение экспонент. В качестве следствия из (9.1.16) и
(9.1.2) получаем равенство
^ :е-<ч>^>:с:ег<<)(е>:с^фс= e<f- се\ (9.1.18)
Ортогональность полиномов Эрмита (Вика). Разлагая (9.1.18) в степенной
ряд, получаем, что
^ :ф(/)":с:ф(?)т:с^фс = 6"тп!(/, Cg)n. (9.1.19)
Примеры: при п ^ 1
^ :ф(/)га:сс?фс = 0, (9.1.20)
^ :Л(ф):сс?фс = Л (ф = 0). (9.1.21)
Ниже мы будем обозначать через v интегральный оператор с ядром v(x, у),
действующий в пространстве L2(Rd, dx). Кроме того, будем предполагать,
что I + C1/2vCl/2 > 0. Пусть
\ -4>(x)v(x, y)q>(y): dxdy. (9.1.22)
Константа викова упорядочения. Пусть оператор vC имеет след; тогда
'¦V:C = V - у Tr (vC). (9.1.23)
Равенство следует из соотношений :ф(х)ф(у) :с=ф(х)ф(у)-С(х,у) и Tr(i>C) =
^ v(x,y)C(y,x)dxdy.
192 Гл. 9. Анализ и перенормировки Функциональный определитель (§ 9.3):
Z еэ J e~:V:c dcpc = exp {- у Tr [in (/ + C,/2vCu2) - Лс,/2]}. (9.1.24)
Гауссово возмущение (§ 9.3):
d<p(c -i +0)"1 = Z ~V ° dq>c' (9.1.25)
Пример: пусть v есть оператор умножения на т(х)2, С= (-Л+/)-1. Тогда
:V: = Y ^ т(х)2 :ф (x)2:cdx, (9.1.2ба)
dm , - Z~'e~'v' dm
(- A+I+m (jc)*) Ч-Л-Н) 1
Z =exp {- 4 Tr [in (/ + Cll2m2C112) - C1/2m2C1/2]}. (9.1.26b)
Масштабное преобразование (§ 8.6). Пусть a > 0 и Ra обозначает
преобразование, изменяющее масштаб длины в а раз. В частности, для С - (-
Лг + гп2)-1 определим RaC = (-Лаг + (т/а)2)-1. Для /еСо°положим (Raf)(x)
= a-<-d+2'!/2f(x/a). Тогда справедливо равенство
называемое масштабным тождеством. Масштабное тождество в негауссовом
случае заключено в формуле (8.6.26).
Сдвиг гаусовой меры. Пусть §6^ и "ф = ф - g. Заменим интегрирование по ф
интегрированием по сдвинутой переменной г|х Тогда
^Фс = ехр[- щ(g, C~lg) - (C~lg, *ф)]rf-фс- (9.1.27)
Доказательство формулы (9.1.27), Докажем это равенство для преобразований
Фурье обеих мер. Проинтегрируем обе части (9.1.27), умножив их на функцию
exp(tcp(f)) "= exp(njj(f))exp(i'<g, f>). Оба интеграла можно вычислить,
используя
(9.1.16), и они оказываются равными exp (-j(f, Cft). Так как мера
однозначно
определяется своим преобразованием Фурье, то равенство (9.1.27) доказано.
|
(111) Интегрирование по частям
Формула гауссова интегрирования по частям
jj Ф (/) A dcpc = jj (Cf, б/бф) A dyc =
= J (бЛ/бф (Cf)) dyc = J DcfA dyc (9.1.28)
была доказана в § 6.3. Она вытекает также из соотношений (9.1.6),
(9.1.7) и (9.1.20). Для обобщения этого равенства на случай не-
9.1 Список полезных формул 193
гауссовых мер положим
(9.1.29)
Л
d\i - d\i v = е~ v dq>c Jjj F dq>Ci,
В - Ae~v.
Интегрирование по частям (общий случай; § 12.2):
(9.1.30)
(9.1.31)
AiT)dn.
(9.1.32)
Заметим, что если в (9.1.32) можно перейти к пределу при Л|Rd, то формула
(9.1.32) верна и для меры d|д в бесконечном объеме.
Инфинитезимальное изменение ковариации (гауссов случай: §9.2). Пусть C(t)
есть гладкая операторнозначная функция от t. Тогда
где С - dC/dt, а Ас определено в (9.1.10).
Инфинитезимальное изменение ковариации (общий случай: § 9.2, 12.2). Пусть
C\(t), Ci(t)-гладкие операторнозначные функции от t. Тогда
Из (9.1.34) вытекает формула для (d/dt) ^ A d\i, где d\i есть мера
(9.1.30) или соответствующая мера в бесконечном объеме, если в (9.1.34)
возможен предельный переход к бесконечному объему.
Обусловленность. Положим в (9.1.31, 34) А = /, С\ = С2 = C(t):
Это равенство чаще всего используется, когда С ^ 0 или С 0, как,
например, в случае C = fCi + (l - t)C2, С=С\-С2 и С1 С2 или С2 ^ Сь
Трансляция. Для случая взаимодействия в конечном объеме формула (9.1.27)
принимает вид e~vw dq>C2 = в~w Wrfi|)Cj, где
W (ф) = 5 :Р (11) + g):0i dx + <С2- lg, ф> + i (g, С2 g). (9.1.27')
(9.1.33)
d
Hi
dt\e Vci(Pc(t) 2 § бф ' бф)е Vd4c(t)' (9.1.35)
A
104 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Доказательство формулы (9.1.32). Если вместо А подставить В в (9.1.28),
то
(9.1.32) сводится к (9.1.28). Таким образом, достаточно проверить для
производной бВ/бф правило дифференцирования сложной функции. Введя
ультрафиолетовое обрезание и используя предложение 8.7.2, можно
аппроксимировать V последовательностью полиномов Q(,) вида (8.7.2). Для =
Ае~(r) правило дифференцирования сложной функции и формула интегрирования
по частям верны, так как - цилиндрические функционалы (зависящие от
значений функции только в конечном числе переменных точек) и
функциональные производные функции
g-Q^ превращаются в обычные производные. Следовательно, равенство
