Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
рг (у) = Z
дХ => V ' дХ
где дХ пробегает всевозможные границы фаз или, другими словами, все
конфигурации спинов.
Предложение 5.4.1. Рг(у) ^ g-2Pivi.
Доказательство. Пусть дХ :э у; обозначим (дХ)* конфигурацию, получаемую
при переворачивании всех спинов внутри у. При этом из границы фаз
исключается т. е. (дХ)* = дХ\у. Поэтому
е-н {dX)je-H "эх?) = е-гр |v I.
Отображение дХ<->(дХ)* взаимно однозначно отображает подмножество границ
фаз дХ, содержащих у. на подмножество этих границ, не содержащих у. Образ
состоит в точности из таких границ фаз дУ, что <ЗКП\ = 0, поскольку
102 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
для таких дУ мы можем вновь перевернуть все спины внутри у и получить
дХч=дУ\]у, а следовательно, <5У "= (дХ)*. Таким образом, опуская
положительные члены в знаменателе, получаем неравенство
? е-Н(дХ) ? е-Н(дХ)
рг __ дХ => у________^ дХ у_____________
w ^e-H(dY) ^ e~H{dY)
dY arnv=0
? е~Н(дХ)
_ ЗХ => у________ = -2Р I Y 1 ¦
^ е~ИйдХ)*) ь ' ¦
(ЗА')*
Рассмотрим теперь случай граничных условий (+). Пусть фл - мера,
соответствующая граничным условиям а, = +1 при
i 0 Л, а <•>+, л - среднее по этой мере.
Предложение 5.4.2. При достаточно большом |3 и d ^ 2
0 < 1 - <(Тг>+, л < е-Р.
Доказательство. 1 - <<т;> = <1 - 0j), поэтому ненулевой вклад вносят
только конфигурации с <Jt ¦= -1. Для любой такой конфигурации с границей
фаз дХ найдется уадХ, содержащее внутри себя узел L Пусть у(дХ) -
наименьшее из таких у- Тогда
1-К) = 2Е Z
Y { дХ: Y (дХ)=у) 1 дХ
В числителе суммирование проводится сначала по дХ с фиксированным
наименьшим у, а затем по всем таким у. Отношение только увеличится от
добавления к числителю положительных членов, поэтому первую сумму заменим
суммой по {дХ: дХ у}. Эта сумма является числителем в Рг (у),
следовательно:
2Z Z е~Н(дХ)
.. ---= 2 ZPr(Y)<2 Ze~2PlY'
k
Пусть Л7 (| у I) -число различных границ фаз у площади |у| (или длины | у
1 при d = 2), содержащих ?. Число допустимых сдвигов для у не превосходит
|y|d, так как у должно содержаться внутри d-мерного куба с центром в i и
длиной ребра |у|. Начав с любого элемента у и пристраивая каждый раз один
элемент гиперповерхности, получим, что число различных типов у не больше
с М где c = c(d). Таким образом, iV(]y|) ^ |у]йс^1 и при достаточно
больших р
1 -(ст,)<2 Z rVr2Pr<e'p. |
r = 4
Заметим, что случай d = 1 исключительный. В этом случае |v| есть число
точек в у, у несвязно, и поэтому iV(|v|) не ограничено при |v| = 2.
Круг идей, изложенных в этом параграфе, важен и в квантовой теории поля,
что иллюстрирует рис. 5,5. Рассмотрим взаимодейст-
5.4 Модель капли и оценка Пайсрлса 103
вне ф4 - ф2, изображенное на рис. 5.1. Классическое основное состояние
(отвечающее нулевой температуре) определяется конфигурацией поля,
принимающей постоянные значения. Мы опишем типичные конфигурации поля,
вносящие вклад в квантовое (т. е.
Рис. 5.5. Типичная конфигурация, отвечающая (а) вакуумному состоянию, (Ь)
односолитонному состоянию. Здесь А - солитонный переход, В - флуктуации,
соответствующие второму вакууму, С - флуктуации внутри отдельного
вакуума.
отвечающее положительной температуре) основное состояние. Преобладающие
конфигурации близки к классическим из-за множителя е~л в статистическом
весе, однако они содержат различные флуктуации. На рис. 5.5(a) изображена
конфигурация, содержащая флуктуации двух типов. Флуктуации малого
масштаба - это флуктуации внутри одного из колодцев W-образного
потенциала, изображенного на рис. 5.1. Они описываются в рамках теории
среднего поля, изложенной в § 5.2. Флуктуации большого
104 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
масштаба отвечают туннельному переходу из одного колодца в другой. Они
описываются изинговыми флуктуациями и моделью капли, рассмотренными в
этом параграфе. На рис. 5.5(b) представлена конфигурация, относящаяся к
солитонному (одночастичному) возбуждению вакуума. Рассмотрим вначале
классическое стационарное (солитонное) решение уравнения
- фдгх + Р'(ф) = 0,
а именно у(х) - а\.\\Ьх. Изображенная конфигурация отличается от
классического решения флуктуациями большого и малого масштаба, как и в
случае вакуумной конфигурации. Рис. 5.5 поясняют фазовые переходи в
квантовой теории поля, изучаемые в гл. 16, а также высокотемпературные и
низкотемпературные кластерные разложения, которые будут обсуждаться в гл.
18 и § 20.5.
5.5 Пример
В заключение этой главы покажем, что картина среднего поля позволяет
описывать другие механизмы фазовых переходов, не связанные с вырождением
основного состояния. В термодинамике под фазовым переходом понимают
неаналитичность какой-либо из термодинамических функций. Неаналитичность
может иметь место даже тогда, когда основное состояние единственно.
Например, в двумерных (d= 2) системах с непрерывной группой симметрий
основное состояние симметрично (теорема Мермина - Вагнера). Простейшая
система такого типа есть модель ротаторов, или ЛТ-модель. Она описывается
