Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, при | у I ^4 и d(j, y) = 0 множитель I Y ^2q гщ 2,q появляется в
(18.6.4) из соображений подобия, как и в предложении 7.9.1.
Положим по определению
К4 (q, У) = const ? К[у ]е~ т"11 |/(2+2в). (18.6.10)
tei (у)
При таком выборе К4 выполнено неравенство (18.6.4); в случае, если d(j,
y)=0 и |/| =0 для некоторого I, мы можем для вывода неравенства (18.6.4)
применить оценку нз предложения 7.9.4.
Итак, осталось установить неравенство (18.6.5). Мы докажем его как
самостоятельное утверждение.
Предложение 18.6.2. При достаточно больших т0 имеет место оценка
? П I е-ш0 и |/з ек8| г|_ (18.6.11)
яе^(Г) Yst teL(y)
Доказательство. Пусть S (Г) - семейство всех линейных упорядочений,
определенных на подмножествах в Г. Тогда L(T) ^^(Г). Так же, как и ранее,
опре-
362 Гл. 18. Кластерные разложения
делим величину |/| для /eS'fr). Покажем, что число таких упорядочений
/е5'(Г), для которых |/| ^ г, не превосходит
| Г | ек*<г+1>. (18.6.12)
Применяя теперь (18.6.12), завершим доказательство предложения 18.6.1.
Пусть Лг = ехр(-т0|/|/3). Выражение ЕПЕ Ai в (18.6.11) представляет собой
сумму членов вида А^А^ ...A[ t где h - попарно различные элементы
3?(Г). Группируя слагаемые, мы оценим (18.6.II) сверху следующим
образом:
х At а = п О + Ад<
(Г) 1 ШИ (Г)
< ехр Л; = ехр J] А[ < ехр (О (1) | Г |).
(Г) шх (D
В последнем выражении мы воспользовались оценкой (18.6.12) для того,
чтобы оценить ^ At, выбирая при этом т0 достаточно большим.
Is? (Г)
Установим теперь неравенство (18.6.12). Предположим, что заданы
расстояния а,- с фиксированной целой частью [а;]. Ребро bl = bl можно
выбрать |Г| способами. Число способов, которыми можно выбрать ребра 6,-
между &[ и Ь2 ограничено некоторой константой 0(1), поскольку все эти
ребра должны пересекаться г ft,. Далее, ребро Ь2 можно выбрать 0(l)[aj]
способами среди множества ребер ft, удовлетворяющих условиям
[Я(] < dist (ft, ft,) < [at] + 1.
Действуя таким образом, мы находим, что общее число способов выбрать все
ребра bi допускает оценку
IГ I П 0 С1) ["/] < I Г | <?°(1>^ ^"г] < I Г | е° (1) г.
i
Наконец, подсчитаем, сколькими способами можно выбрать величины [а,]. Это
есть не что иное, как количество наборов натуральных чисел ri ^ 1, сумма
которых не превосходит г, т. е. 2'. Действительно, предположим, что ^ ri
= г. и представим сумму г единиц в виде ^ г{ следующим образом. Первая
единица входит в а\ (выбора нет). Вторая единица входит либо в а\, либо в
а2 (двузначный выбор). Если /-я единица входит в ah то (/+ 1)-я входит
либо в а,-, либо ai+i (двузначный выбор). Таким образом, имеется г- 1
двузначных выборов, т. е. 2r-1 различных наборов чисел п. Суммируя по /=2
г'' мы П0ЛУ" г
чим величину ^ 2^_1 = 2Г - 1. Наконец, мы должны учесть еще одну возмож-
/=1
ность: |/| =0 (а; отсутствуют).
18.7 Сходимость: завершение доказательства
Доказательство предложения 18.4.3. Не ограничивая общности, можно
считать, что ядро w локализовано, т. е. его носитель заключен в
произведении нескольких квадратов решетки, и в этом случае мы положим \w\
= |sy|i,. Мы хотим оценить выражение
^ дТ S Д ф e~mA) dVs (Г)ds (Г)> w^ • (18.7.1)
18.7 Сходимость: завершение доказательства 363
Пусть ^(Г)-семейство всех разбиений я множества Г. Согласно (9.1.34) и
правилу Лейбница, (18.7.1) равно
(\ Z 5 ГП (r)Y (18.7.2)
\ ле^(Г) / i '
где С = С (s (Г)), дуС • Дф ^ Д^; см. (9.1.10).
Пусть / s Z2. Будем обозначать символом Д/ три объекта: (1) квадрат
решетки, содержащий /, (2) характеристическую функцию этого квадрата, (3)
оператор умножения на эту функцию Д;. Имея в виду последнее значение
символа Д/, положим
*,с W = 4
где /Y = (/1, у, /2, Y) е -Z4, так что два дифференцирования в 5YC(/Y)
локализованы в Дд и Ду2 соответственно. Пусть
3Yc = V д1 С (/ ).
1У
Подставим это тождество в (18.7.2). В результате мы получим сумму, члены
которой помечены квадратами локализации {/Y} и разбиениями itsS^jT). Для
каждого фиксированного члена обозначим М = М(я, {/Y}) число слагаемых,
возникающих в результате применения дифференциальных операторов Дф в
подынтегральном выражении в (18.7.2). Согласно теореме 8.5.5, предложению
10.3.1 и следствию 10.3.2, каждое из полученных таким образом слагаемых
допускает оценку
L"
1(r)'ИL < II (r) HLJ П дУс w
Р II
<ll(r)llLl'"0~|r,/2<'II *4 fa. y)e~mdVY Y)/2.
УЕЛ
Применяя теперь (18.6.5) для оценки суммы по всем разбиениям ие?(Г), мы
получаем, что (18.7.2) не превосходит
II Г 1,и0 1Г 1/2<? 2 тах м Ц е m°d ^Y' У^2 П "(Д)!.
{Ця^(Г) Д
где числа я(Д) определены в § 12.5.
Предложение 18.4.3 вытекает из двух лемм, в которых оцениваются величина
М и сумма по парам {/Y}. Пусть уИ(Д) -число элементов множества
{//, у- Д/f, Y = Д' г = 1 ИЛИ 2'TS ЯЬ
Лемма 18.7.1. Существует такая константа Кю, не зависящая от т0, что
М</,,|Г|П(Л1 (А)!)р
д
и Пп(А)!<еЬ|Г'П(М(А)!Г
д д
Лемма 18.7.2. Пусть заданы разбиение пе^(Г) и г > 0. Тогда существует
такая константа К\\, не зависящая от т0, что
2 J[e~mdVr ?)/2П(ЩЛ)!)г<еК',1Г1. (18.7.3)
