Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Многие свойства гармонического осциллятора переносятся и на другие
квантовомеханические задачи, уже не сводящиеся к гауссовым состояниям.
Простой гармонический осциллятор играет также важную Роль в теории поля,
потому что свободное квантовое поле можно представить как совокупность
бесконечного числа гармонических
28 Гл. 1. Квантовая теория
осцилляторов. Согласно этой картине, поле со взаимодействием можно
представлять как набор ангармонических осцилляторов и рассматривать как
ангармоническое возмущение гармонических осцилляторов.
Гамильтониан Н простого осциллятора имеет тот же вид, что и энергия
классического осциллятора:
Яозс =
Напомним, что в классическом случае частота колебаний осциллятора равна
|я = (k/m)1/2. Для дальнейшего изложения удобно ввести безразмерные
переменные
Q = (m\i/h)[l2q, Р = (m\ih)~112 р, Н = Н0sc; (1-5.1) в этих переменных
Я=4СР2 + <Э2) (1-5-2)
[Р, Q] = h~l [р, q] = - t.
Мы рассматриваем шредингерово представление, в котором Р = = -id/dy, а
оператор Q в пространстве Ж = L2(dy) действует как умножение на
независимую переменную у. В качестве области определения оператора Н, как
и остальных операторов этой главы, берется пространство Шварца 9>. По
определению 0е^, если функция 0 и все ее производные быстро убывают на
бесконечности. Все операторы, которые мы рассматриваем, например Н, Р, Q,
отображают Ж в Ж, так что пространство Шварца 91 является для них
"инвариантной областью".
В этой главе мы изучим два фундаментальных свойства оператора Я: полноту
набора его собственных функций и то, что оператор е~ш сохраняет
положительность (т. е. переводит положительные функции в положительные).
Мы проверим их прямым вычислением. Впоследствии при помощи более
абстрактных методов удастся доказать подобные свойства для широкого
класса потенциалов. Особенно важную роль играет положительность оператора
е~ш\ она связана с единственностью основного состояния и интегральным
представлением Фейнмана - Каца (гл. 3).
Теорема 1.5.1. Оператор Н существенно-самосопряжен и имеет спектр H\i{n+
1/2). Резольвента оператора #osc - компактный оператор.
Доказательство. Определим операторы "рождения" и "уничтожения" А* и А
формулами
А* = (Q - IP), А = -]=¦ (Q + IP); (1.6.3)
•V2 V2
при этом [А, А*] = 1. (1.6.4)
1.5 Простой гармонический осциллятор 29
Простые вычисления показывают, что
Н = j (Рг + <?) = А*А+± (1.5.5)
Далее,
[Я, А] = -А, [Н,А*]=А*. (1.5.6)
Из (1.5.5) видно, что если вектор С2о удовлетворяет уравнению /1Q0 = 0,
то Q0 - собственный вектор оператора Н, а именно HQ0 = Яо- В
шредингеровом представлении уравнение AQ0 = 0 записывается в виде
dQo/dy == -yQo. (1.5.7)
Отсюда мы заключаем, что ?3" - это известное гауссово распределение:
fio (у) = const е~у^2 = я~ 1/4 е~у!1'2, (1.5.8)
где константа подобрана так, что || II = 1.
Из (1.5.6) следует, что, если Qo - собственный вектор гамильтониана Я,
таков и вектор A*"Qо, причем
HA*nQо = A*nHQa + [Н, А*пJQ0 = (у + я) А*п9.0. (1.5.9)
Значит, спектр оператора Н содержит точки (-^-+п), п - 0, 1, 2, ... .
Чтобы закончить доказательство теоремы, осталось доказать полноту в
пространстве Z-2 найденного набора собственных функций {/4*л?2о}. Ниже, в
предложении 1.5.7, мы дадим элементарное доказательство этого хорошо
известного факта. Заметим, что найденные собственные функции - элементы
пространства 9Р. Следовательно, оператор Я существенно-самосопряжен на
У'). Другими словами, существует единственный самосопряженный оператор
(обозначим его тоже Я), который совпадает с Я на его области определения
9я.
Перейдем теперь к изучению некоторых свойств собственных функций. Их
нормировка определяется из следующей цепочки равенств:
(Q0, ЛМ*я?2о> = <?2о, Л"-1 [А, Л*Л]Й0> =
= п(Q0, An-IAta-'Q0) =...="!,
так что
Qn = (n\yll2A*nQ0 (1.5.10)
- нормированные собственные функции. Мы будем называть состояние Qn
осциллятора "-частичным или я-квантовым состоянием,
*) Симметрический оператор Я, определенный на плотном множестве 25,
называется существенно-самосопряженным, если Н** = Я. Это условие
эквивалентно тому, что числа ±( не являются собственными значениями
оператора Н* или что образ Im(#±i) является плотным. Если оператор Я
имеет плотное множество собственных функций е S), то он существенно-
самосопряжен. В самом деле, пусть функция х из области определения
оператора Н* является решением уравнения Н*% = //; тогда
0 = <(Я* - 0 ос, Q"> = <х, (Н + t) Й"> = <х, Й"> (Еп + г).
Итак, <х, Qn> = 0 для всех п, и, в силу полноты множества собственных
функций Оа, получаем, что % = 0. |
30 Г л. I. Квантовая теория
считая, что каждый квант энергии равен Г/р. Соотношения
= Ул+Т an+1, ЛЙ" = Уп ?!"_!, А'А&п = ШХ (1.5.11)
можно интерпретировать следующим образом. Оператор А*, действуя на
состояние Qn, добавляет к нему одну частицу, или один квант, и тем самым
увеличивает энергию состояния на величину ft\i. Сопряженный оператор А,
наоборот, поглощает или уничтожает квант. Полная энергия равна ft.fi/2 +
