Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Очень важно отметить, что у простых волн сжатия характеристики пересекаются. Каждая характеристика отвечает вполне определенной скорости V, вследствие этого гидродинамическая скорость 198 ГЛАВА 10
не является теперь однозначной функцией: мы имеем дело с формированием ударных волн. Процесс формирования ударной волны показан на рис. 13.4. Время, за которое ударная волна успевает сформироваться, имеет порядок величины
T=-f, (13.32)
где а — ускорение поршня [100], при малых ускорениях это время может быть сколь угодно большим. В заключение отметим, что все эти результаты верны не только для идеальных газов.
13.4. Малые возмущения бегущих волн
Флуктуациям давления (Э) и скорости (и) соответствуют, согласно (13.14), флуктуации инвариантов Римана
6/±=u±^-S. (13.33)
Здесь мы пренебрегли членами высшего порядка по флуктуациям. Флуктуации б/+ распространяются, следовательно, вдоль характеристик С+, а флуктуации б/_ — вдоль характеристик С_. Действительно, в качестве субстанциональных производных, действующих на бJ±, можно принять операторы
d = dt + (v±c)-|p (13.34)
которые использовались в соотношениях (13.12) и (13.13). Возмущения уис соответствуют вкладам второго порядка по флуктуациям.
Удобно изучить отдельно эффекты возмущения каждого инварианта. Сначала предположим, что
б/_ = 0. (13.35)
Такой случай возможен, когда в области однородного равновесия нет никаких возмущений. Если это так, то уравнение (13.35) выполняется в начальный момент времени, а затем невозмущенное значение J-(x, t) распространяется вдоль характеристик C-, что и приводит к выполнению (13.35) уже во всей рассматриваемой области переменных (x,t). Из (13.33) и (13.35) получаем всюду для возмущений б/+
Э = реи. (13.36)
Далее, используя определение (13.6) для с, имеем
бр =-?-.«, ' (13.37) УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
199
а для соответствующего (т. е. изоэитропийиого) возмущения температуры 0 *) получаем следующее выражение:
•-(¦?).»"?(?),»-¦?«• ¦ cms.ee>
Таким образом, остается лишь одна независимая флуктуирующая переменная, в качестве которой можно выбрать и.
Для противоположного случая, когда
6/+ = 0, (13.39)
путем аналогичных рассуждений получим
Q = -PCU, бр = —JLtt; Q = -2l?-u. (13.40)
Теперь можно перейти к изучению проблемы устойчивости.
13.5. Неустойчивость простой волны сжатия
Как правило, установить неустойчивость легче, чем устойчивость. Действительно, для доказательства неустойчивости достаточно определить хотя бы один тип возмущений, выводящий систему из прежнего состояния, тогда как для доказательства устойчивости необходимо исследовать все возможные возмущения. Именно поэтому так разителен контраст между проблемой неустойчивости волн сжатия, рассматриваемой в этом разделе, и проблемой устойчивости волн разрежения (разд. 13.6).
Применим наш критерий гидродинамической устойчивости (7.102) к волне сжатия, изображенной на рис. 13.1 (3). При невозмущенных граничных условиях (движение поршня предполагается известным) граничный член (7.103) исчезает. Исчезают и диссипативные члены в случае одномерного изоэнтропийного течения (Pij = O). Принимая в (7.101) т2 = 1 и используя (13.36) и (13.37) вдоль характеристик С+, получим гидродинамический критерий устойчивости
P[6?kin] = _ + + (13.41)
Xp
Учитывая неравенства (13.30), приходим к выводу, что неравенство (13.41) не выполняется в данном случае, поскольку Хр, v и с — положительные величины. Таким образом, простые волны сжатия неустойчивы.
*) Из (2.31) следует, что
[fL\ —fi?\ ^ T ! дО \ _ VTg U pis \ as Jp Cp \ дТ Jp Cp ' 200
ГЛАВА 10
Каков физический смысл такой неустойчивости? Невозмущенное движение имеет время жизни (13.32), связанное с формированием ударной волны. В данном случае время жизни, по-видимому, еще меньше из-за неустойчивости самого потока. Такая неустойчивость может возникнуть в любой точке и в любой момент времени как результат флуктуации. Вследствие этого первичная простая волна сменится неким вторичным профилем.
К сожалению, в этом направлении не проводится экспериментов. Является ли сокращение времени жизни реально существующим или оно появляется лишь как следствие слишком "больших упрощений при замене реального потока изоэнтропийным одномерным течением — этот вопрос, как и вопрос о роли диссипации (термической и вязкой) в рассматриваемой проблеме устойчивости остается открытым *).
Здесь мы столкнулись с примером временной макроскопической эволюции, неустойчивой по отношению к малым флуктуациям. Мы не встречались с подобной ситуацией в тепловых задачах (разд. 7.2). Действительно, для тепловых задач условия устойчивости выполнены, и макроскопическое поведение, описываемое зависящим от времени уравнением Фурье, устойчиво. Подчеркнем также, что волны сжатия неустойчивы только при конечной амплитуде. Это еще раз показывает, что необходим конечный сдвиг от равновесного состояния, чтобы реализовать неустойчивость на термодинамической ветви (см. разд. 11.5).
13.6. Устойчивость простых волн разрежения
