Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
общего вида. Действительно, для широкого класса полей излучения, который включает, как будет показано ниже, фактически все поля, изучаемые в оптике, появляется возможность привести оператор плотности к значительно более простому виду. Такой вид оператора плотности проливает свет на многие аналогии между соответствующими вычислениями в квантовой электродинамике и в классической теории. Его использование позволяет глубже понять, почему некоторые из основных законов оптики, такие, как супер-позия полей и вычисление результирующих интенсивностей даже при малом числе квантов, совпадают с законами классической теории. В дальнейшем мы пока по-прежнему будем ограничиваться рассмотрением одной моды поля.
Конечно ясно, что наибольший интерес представляет для нас когерентное состояние осциллятора. Для чистого состояния | а) оператором плотности является проекционный оператор
6 = 1 а) (а ]. (7.1)
Однозначное представление этого оператора через функцию R (Р*, у). как легко видеть из выражения (6.1), имеет вид
?(P*, Y) = еР*а+^*-№2. (7.2)
Другие функции R (Р*, у), которые удовлетворяют требованиям аналитичности, необходимым для представления операторов плотности, можно получить с помощью линейной комбинации экспоненциальных выражений типа (7.2) с различными значениями комплексного параметра а. Получаемые таким образом функции R представляют смешанные когерентные состояния. В наиболее общем виде такую функцию R можно записать следующим образом:
R (Р*, у)= J Р (а) е$*а+Уа*-№ d2a, (7.3)
N
где Р (а) есть весовая функция, определенная во всех точках
комплексной a-плоскости. Так как функция R (Р*, у) должна
удовлетворять условию эрмитовости [см. (5.10)], то мы потребуем, чтобы весовая функция была действительной, т. е. [Р (а)] * = = Р (а). Она не обязательно должна удовлетворять условиям регулярности, но ее сингулярности должны быть интегрируемыми х). Удобно предположить, что Р (а) имеет сингулярность типа 6-функции, тогда представление чистого когерентного состояния можно рассматривать как специальный случай выражения (7.3). В этом случае действительную двухмерную б-функцию можно определить
• х) Если Р (а) обладает сингулярностями более сильными, чем б-функ-ция, например типа производной от б-функции, то представляемые поля не будут иметь классического аналога.
равенством
б2 (а) = б (Re а) б (Im а).
(7.4)
Тогда чистое когерентное [ (3) описывается функцией
Р (а) = б<2> (а — (3),
(7.5)
а основному состоянию осциллятора соответствует [3 = 0.
Функции (7.3) соответствует оператор плотности q, который является суперпозицией проекционных операторов (7.1):
К оператору такого типа можно прийти, если известно, что осциллятор находится в когерентном состоянии, которому соответствует неизвестное собственное значение а. Следовательно, можно считать, что функция Р (а) играет роль, аналогичную плотности вероятности для распределения значений а по комплексной плоскости1). Дальше мы увидим, что иногда такую интерпретацию можно обосновать. Однако в общем случае функцию Р (а) нельзя последовательно интерпретировать как распределение вероятности, поскольку проекционные операторы, с которыми она связана, не ортогональны друг другу при различных значениях а. Правда, в некотором смысле можно сказать, что состояния | а) и | а') становятся приблизительно ортогональными при | а — а' |»1 [что отмечалось в связи с (3.33) ], т. е. когда их волновые пакеты (3.29) или (3.30) не перекрываются заметным образом. Если же функция Р (а) мало изменяется во всей области значений параметра а, то неортогональ-ность когерентных состояний оказывает небольшое влияние и функцию Р (а) можно приближенно интерпретировать как плотность-вероятности. Медленно меняющиеся функции Р (а) обычно будут связываться с сильными полями, которые приближенно можно описывать с помощью классической теории.
Выражение (7.6) для оператора плотности мы будем называть P-представлением, чтобы отличать его от более общего выражения через функцию R, которое рассматривалось выше. Из нормировки оператора плотности вытекает, что Р (а) должна подчиняться следующему нормировочному условию:
Интересно также рассмотреть ограничения, которые накладывает на Р (а) положительная определенность Q. Если к функции
(7.6)
Spe = ^ P(a)d2a = 1.
(7.7)
х) На существование оператора плотности в таком виде указывал также Сударшан [12]. Его замечания кратко обсуждаются в конце раздела 10.
R(f>*, y)> данной выражением (7.3), применить неравенство (6.9), то получим
\ If ф*)]* f (Y*) Р («) eP*a+va*-|a|2-|P|2-|Y|2 d2a d2y > о. (7.8)
Интегрирование по у можно провести, учитывая соотношение (4.10), а по р с помощью соотношения, комплексно-сопряженного с (4.10). После этого получим следующее неравенство:
