Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Любой оператор плотности q можно в соответствии с результатами предыдущего раздела однозначно представить с помощью функции двух комплексных переменных R (а*, Р), которая ана-литична в конечных областях плоскостей а* и р. На основании (5.7) явное выражение для функции R есть
R(a*, Р) = (a ] q | (J) е1/2'а12+1/2^1а. (6.1)
Однако если нам известно матричное представление оператора Q по я-квантовым состояниям, то очевидно, что функция R дается выражением
R (а*, р) = ^ (п | е I т) (п\т\)~1/2 (a*)" рт. (6.2)
п, т
Если же матричные элементы (л | g | т) неизвестны, то их можно довольно легко найти, зная R (а *, Р). Один из подходящих для этой цели методов заключается в том, что мы рассматриваем R (а*, Р) как производящую функцию и отождествляем ее ряд Тейлора с рядом (6.2). В качестве второго метода можно отметить следующий. Если выражение (6.2) умножить на а1 (Р *)? ехр [— (|а |3 + | р |2) ] и проинтегрировать по всем плоскостям аир, то в правой части исчезают все члены суммы, кроме тех, у которых п = i, т = /, и мы получаем
(г [ е I/) =-L J R («*, P)(i!/!)-1/*a1(P*)je-(i“i*+iPis>d2adap. (6.3)
Таким образом, зная функцию R (а *, Р), оператор плотности можно записать в виде
q — ^ \a)R(a*, Р) (Р j e-V2(!ai2+ipi2) d2ad2p. (6.4)
Статистическое среднее оператора Т дается шпуром произведения qT. Если при вычислении этого среднего для g использовать представление (6.4), то необходимо отметить, что шпур выражения I а) Ф I Т, рассматриваемого как оператор, равен матричному элементу (Р ( Т | а). Тогда если матричный элемент выразить с помощью функции ?Г (а *, Р), определяемой выражением (5.7), то найдем, что
Sp{QT} = ^ R (a*, P)JT(P*, a)e-;“'2-'Pl2d2ad2p. (6.5)
Если Т есть оператор типа (at)na"1, то его представление JT(P*, a) дается соотношением (5.11). В частности, при п = т = 0 имеем единичный оператор Т = 1, для которого ($*, a) = exp(P*a). Следовательно, шпур самого оператора q, который должен быть нормирован на единицу, равен N
Sp q = 1 = -Jg- ^ R (a*, P) eP*a-l“!2-iP 2 d2a d2p.
Так как R (a*, P) является целой функцией a*, то можно, используя (4.10), провести интегрирование по всей a-плоскости. Отсюда получаем условие нормировки для R:
' $Д(Р*. P)eHPi2d2p= 1. (6.6)
Оператор плотности является эрмитовым оператором и, следовательно, имеет действительные собственные значения. Эти собственные значения можно интерпретировать как вероятности, и поэтому они должны быть положительными числами. Так как q является положительно-определенным оператором, то его ожидаемое значе-
ние в любом состоянии, например в состоянии | f ), определяемом (4.6), должно быть не отрицательным
</1 е I /) > о. (6.7)
Если в качестве состояния | f) выбрать, например, когерентное
состояние | а), то получим, что функция R, определяемая выражением (6.1), удовлетворяет следующему неравенству:
R (а*, а) > 0. (6.8)
Если же считать, что состояние | /) определяется целой функцией
/(а*), как в (4.7), то из неравенства (6.7) находим более общее условие положительной определенности
J [/ (а*)]* / (Р*) R (а*1 р) e-i“i2-iP;3 d2a d2$ > 0, (6.9)
которое должно быть справедливо для всех целых функций f.
Во многих физических экспериментах, особенно в экспериментах с полями очень высокой частоты, нельзя сказать, что имеется какая-нибудь априорная информация о параметрах, зависящих от времени. Поэтому выводы, к которым мы приходим в этих случаях, не изменяются при сдвиге события во времени. Их можно получить, исходя из стационарного оператора плотности, т. е. оператора, который коммутирует с гамильтонианом, или проще с оператором ata. Необходимое и достаточное условие того, что функция R (а *, Р) соответствует стационарному оператору плотности, состоит в том, что она должна зависеть только от произведения своих переменных а * р. Другими словами, должна существовать аналитическая функция аР, такая, что
R (а*, Р) = «5® (а*Р). (6.10)
То, что это условие достаточно, ясно из инвариантности R относительно умножения как а, так и Р на фазовый множитель е1®. Необходимость же его непосредственно следует из обращения в нуль коммутатора операторов q и а^а. Другой и, возможно, более простой путь доказательства соотношения (6.10) основан на том, что стационарный оператор q является функцией гамильтониана только для одной моды, или aia. Поэтому он диагоналей в представлении «-квантовых состояний, т. е. (п | q | т) = дпт( п | q | п). Исследование ряда (6.2) для R показывает, что он сводится в этом случае к выражению (6.10).
7. Я-представление оператора плотности
В предыдущих разделах была продемонстрирована применимость когерентных состояний в качестве базисных векторов. Однако не все поля требуют для своего описания операторов плотности такого
