Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае из (8.61), (8.62) следует
k*v / El (kv)/fec + Ve2 E2 (kv)/kc ± ViT ), /п ш a±w 2сє2 \ ?2 - є, (kv)2/c2 k2 — e2/(kv)2/c2 J' 1
Интенсивность излучения можно подсчитать как энергию радиационного поля при t —>- оо. Опять-таки можно воспользоваться формулой (8.27), в которой, однако, интегрирование должно распространяться на все пространство:
= с/гє2 (Efi)2 = 2я2 J CZke2 A ^ffik =
t OO t OO
со я
= i S I2=S dcoS2jc SinBdB rR(co, 6). (8.67)
о о"
Здесь мы использовали соотношение (8.63) и учли, что при /-> ->¦ оо осциллирующие во времени слагаемые должны быть отброшены. Мы снова использовали метод, близкий к гамильто-новскому, и то обстоятельство, что собственное поле заряда и поле излучения при > оо разделяются. В (8.67) не учтена также дисперсия е2 (окончательный результат с учетом дисперсии тот же самый). Поэтому | k | = -л/R2оэ/с и можно перейти к интегрированию по частотам. Наконец, мы ввели угол излучения U как угол между к и v. С учетом всего этого находим
д2у* sin2 8 cos2 8 I E2 — E1 I2 4jt2c5 л/єі i 1 - ei (v/c)2 cos2 8 |21 1 -(v/c) VeIcos 8 I2
m _q v Sin O COS O і E2 Ei |-_ iq р.я\
Для сравнения с переходным излучением на границе раздела двух сред заметим, что в (8.67) интегрирование проводится по всем углам. В пределах углов (0, л/2) выражение (8.68) описывает излучение вперед, тогда как в пределах (я/2, я) — излучение назад.
Для нерелятивистских частиц оба типа переходного излучения (на резкой границе раздела двух сред и при резком изменении во времени свойств среды) разнятся не только в количественном отношении, но и в отношении функциональной зависимости. Так, (8.68) дает
W* (СО, 8)~ ^f;9!?!2 9 IB2-B112, 4«1, (8.69) 4ll2C5 Ve2 С
186 тогда как из (8.23) получаем
Wr? (со, 9) ~ , f;2 sin2Q9с°з'9^,- в^^Г 1. (8.70)
JiVle1COse + Ve2 Vei -E2Sin2B P C2 v '
Таким образом, энергия излучения (8.69) при резком изменении диэлектрической проницаемости во времени оказывается более высокого порядка по малому параметру v2/c2 <С 1.
Для ультрарелятивистской частицы излучение вперед практически одинаково в случае переходного излучения на границе раздела и в случае резкого изменения є во времени. Действительно, из (8.68) в этом случае получаем
WR (со) =
со
= "лс" § dQ2 {б2 + (1 - E1) + (Mc2Ito)2 В2+ (1 - E2) + (/Ис2/(У)2} ' (8-71) о
что совпадает с (8.36). Отсюда следует, в частности, что и спектральное распределение интенсивности и полная излученная энергия будут таким же (см. (8.41) — (8.46)).
Однако излучение назад оказывается несколько иным. В угловом распределении по-прежнему имеется резкий максимум при углах л —• 0', 8' ~ Mc2
WR (со, я - 8') ^- ^21e1 m-e2ml2- _
16я2с I 8 + (1 — Ei (со))+ (Mc2IS)2 I
Слагаемое (1 — Єї (со)) в знаменателе отличает (8.72) от (8.38). Однако такое же слагаемое возникнет и в (8.38), если рассматривать излучение не в пустоту, а в среду с диэлектрической проницаемостью Єї (со). В случае переходного излучения при резком изменении диэлектрической проницаемости во времени считать, что при t < 0 был вакуум кажется весьма искусственным. Наличие слагаемого (1 — єі (со)) в (8.72) меняет оценки следующим образом. Основная интенсивность приходится на малые частоты, при которых разность 1 —єі(со) не мала. В этой области частот пропадает и резкая угловая зависимость, и логарифмическая зависимость от энергии.
В случае анизотропных сред, в частности, при движении ультрарелятивистской частицы поперек кристаллической оси или вдоль нее резкое изменение свойств среды во времени приводит к излучению, совпадающему с излучением при пересечении зарядом границы раздела двух сред (см. [94]). В ответ входит разность значений показателя преломления волн, распространяющихся по направлению скорости частицы. Заметим, что в случае анизотропной среды или, конкретно, при превращении (на «скачке» при t = 0) изотропной среды в анизотропную электромагнитное излучение возникает уже для покоящегося заряда [137г].
187 Рассмотренными типами переходного излучения, а именно, излучением при пересечении зарядом резкой границы раздела сред и при резком изменении свойств среды во времени, не исчерпываются, естественно, все возможности появления пере' ходного излучения. Так, возможны изменение свойств среды и в пространстве и во времени, генерация переходного излучения другими излучателями — дипольными моментами, различными токами, а также большим ансамблем (сгустком) зарядов или токов. При этом нужно, в частности, определить, что понимается под термином резкая граница раздела сред или резкое изменение свойств среды во времени. Между тем до сих пор этот термин уточнен не был.
Очевидно, чтобы полностью выяснить поставленный вопрос, нужно рассмотреть переходное излучение для нерезкой границы раздела или нерезкого изменения свойств среды во времени. Тогда можно указать точные условия, при соблюдении которых изменение среды можно считать резким (скачкообразным). При этом, как и для понимания ряда других моментов, существенную роль играет понятие о зоне формирования или о времени формирования переходного излучения. Качественно излучение можно считать таким же, как для резкой границы раздела, если характерная ширина переходного слоя Az (резкой границе отвечает условие Az->-0) достаточно мала по сравнению с длиной зоны формирования Lf, а резкость изменения во времени должна соответствовать временам, меньшим времени формирования излучения if. Естественно, что Lf = Vtf.
