Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
\ тс J т с K1 \ K1 K2 J j? (і — у cos O1^ ,
K1 :
K2 ¦¦
п2Ci СФЛ
тс
¦ EyE (і cos S2^ ,
(17.57)
где dO.2 — элемент телесного угла, отвечающего направлению к2 (используемый ниже телесный угол Qi относится к направлению ki).
Если в начальном состоянии электрон покоится (т. е. р = = pi = 0), то из (17.54) и (17.57) получаем хорошо известные выражения:
Еу 1 + (бф/тс2^ 1 - cos 9) ' (17.58)
-с do*=j Ш2(if)2(? +1;-sin2 0) (17-59)
В нерелятивистском пределе, когда в (17.59) Єф <С тс2, можно положить Ey = Єф (это, конечно, ясно и из (17.58)), и тогда
OcdQ2 = +. (^l-)2 (1 +cos29)
d Qo.
(17.60)
Интегрируя сечение (17.59) по телесному углу ^Q2 = = 2nsin8(i8 (угол O2 можно в этом случае отождествить с углом 8 между ki и к2), получаем томсоновское сечение
oT=\ocdQ2 = ^{-^)2 =
6,65 • 10 2о см2.
(17.61)
Подчеркнем еще раз, что электроны и фотоны в начальном состоянии считаются неполяризованными, а сечение, определенное по (17.57), (17.59) или (17.60), уже просуммировано по поляризациям в конечном состоянии. Развитие рентгеновской и гамма-астрономии, несомненно, приведет к очень важной и интересной возможности измерять поляризацию космических рентгеновских и гамма-лучей (это существенно для выяснения природы излучения; например, синхротронное рентгеновское излучение Крабовидной туманности должно быть довольно сильно поляризовано, что и удалось наблюдать, тогда как тормозное излучение горячего газа не поляризовано; подробнее см. ниже).
460 В дальнейшем, однако, для простоты будем считать, что поляризация рассеянного излучения (фотоны 2) отсутствует. Так оно и будет, если мягкое излучение (фотоны 1) не поляризовано (о поляризационных эффектах при комптоновском рассеянии см. § 87 в [9]).
Напомним, что по определению эффективного сечения (см., например, [2406]) OcdQ2F есть число фотонов, рассеянных в единицу времени в угле dQ2, причем F = Ыф(с— ucosOi) —плотность потока фотонов, рассеивающихся на электронах (Л^ф — концентрация фотонов, v = vi — скорость рассеивающих электронов, Oi — угол между ki и v); сечение OcdQ2 является релятивистским инвариантом. Будем теперь считать, что фотоны с энергией Єф изотропно распределены по направлениям, а нас интересуют рассеянные фотоны с энергией Ey также независимо от направления их распространения. В подобных условиях нужно вычислить сечение (см. (17.54) и (17.57)):
0 (Еу, єф, Е) = --L- J (1 - j cos 0,) 0С (k,, к2, V) X
X б (Ey - ф (єф, Е, 01, 02, 0)) dQ1 dQ2. (17.62)
В самом деле, обозначим концентрацию мягких фотонов 1 с любым направлением распространения и энергией в интервале Єф, Єф + deф через Лгф(Єф)<іЄф. Тогда число жестких фотонов 2, образовавшихся в единицу времени в результате рассеяния
мягких фотонов на электроне, равно с ^ о (Еу, еф, Е) N^ (еф)^еф.
Пусть
(17.63)
и, кроме того, соблюдается условие (17.55). Воспользовавшись тогда выражениями (17.56) и (17.57), можно вычислить сечение
(17.62), а затем и величину Oi = ^ о (Еу, €ф, E)dEy. При условии (17.63) получаем
о(Еу, €ф, E)
причем Ey заключено в пределах Єф 5? Ey 5? 4Єф(Е/тс2)2\ фактически область применимости формулы (17.64) несколько шире. Далее
Ot = Jct (Еу, 6ф, Е) dEy = -|L (-J-)2 = оТ. (17.65)
-46-JW*
461 Мы не останавливались подробнее на соответствующих расчетах, ибо результат (17.65) совершенно ясен*). В системе координат, связанной с электроном, энергия фотона 1 равна е'ф , =
= [Ejtnc2) єф (1 — (v/c) cos O1). Для изотропного излучения Єф = = (Е/тс2)еф и вместе с тем при условии Єф < тс2 справедливы формулы (17.60), (17.61)—иными словами, рассеяние можно считать классическим. Но условие <С тс2 в силу сказанного
эквивалентно условию Єф(Е/тс2) <С тс2, которое по существу совпадает с (17.63). Итак, при условии
рассеяние фотонов на движущихся электронах является классическим и полное сечение равно От (детальнее см. [240в]). При рассеянии электронов на оптических фотонах Єф ~ 1 эВ (тепловое излучение звезд) и условие (17.66) имеет вид E «С IO11 эВ; если же речь идет о рассеянии на радиофотонах, то условие (17.66), конечно, еще мягче. В большинстве встречающихся в астрономии ситуаций условие (17.63) или (17.66) соблюдается и ниже мы ограничимся в основном этим случаем (впрочем, будут даны приближенные выражения и для другого предельного случая, а также указан реальный пример, когда условие (17.66) нарушается).
Вычислим средние потери (комптоновские потери), которые испытывает электрон с энергией E в результате рассеяния на фотонах.
При рассеянии электронов на достаточно мягких фотонах, когда соблюдается условие (17.66), имеем
— (4f)c = 0 S 0 ^v' Єф' ^ dEi de^ =
= 1Г (^)2 (lAr)2 с • T S єф^Ф (?) d4 =
,, 4 - / E \2 32я ( е2 N2 ( E У = сМфат.теф[^) = — сшф(^г) , (17.67)
где полная концентрация фотонов, плотность их энергии и средняя энергия фотона определяются соотношениями
Мф=\мф(єф)deф, шф = J ЄфЛ^ф(єф)deф =1фЫф. (17.68)
*) Сделаем лишь одно пояснение, касающееся размерности выражения (17.62). Она равна площадь-энергия-1, или конкретно см2/эрг, ибо размерность Oc есть см2, а o(Ey) имеет размерность 1/Еу, поскольку ^ б (Ey) dEy =
