Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Сама по себе возможность упомянутого обобщения уже ясна из рассмотренного выше примера электрического контура — его внутренняя энергия была найдена и при R ф 0; она равна (см. (14.11), (14.12), (14.15) и (14.30))
W=U+K=
OO
CRw (со, Т) da R2C2со2 + (LCa2 - 1);
¦ +
J_ f C2LRw (со, Т) со2 da п J R2C2a2 + (LCa2 — I)2
w (со, т) = cth
йш 2хГ
(14.39)
Для обобщения этого результата его нужно преобразовать к общей форме разложения по собственным частотам, но не самого рассматриваемого контура, а некоторого вспомогательного контура. Дело в том, что нас интересуют вынужденные колебания в контуре под влиянием какой-то э. д. с. е?щехр(—/со/) (в данном случае речь идет о флуктуационной э. д. е.). Тогда, как ясно из (14.1),
q =--= lTSa2' со? (со) = —---і —— со. (14.40)
v°> — La — iaR + 1 /С со2 - со2 LC L к '
Но частоты сої (со) являются собственными частотами для контура (это и есть вспомогательный контур)
Lq + ^Rq + ^= 0, (14.41)
отличающегося от (14.1) заменой R на (со/сої)(во избежание недоразумений поясним лишний раз, что решения ехр(—/соі(со)/), в которых частота со, как и в (14.40), считается параметром,
319 удовлетворяют как раз уравнению (14.41)). В терминах частот сої (со) выражение (14.39) записывается в виде
- і Г w (со, Т) .. i +Г°° ® т) da2 (со)
W —--\ —5-2 СО ACO H--\ -5-s-- rfcO.
л J в; (со) — со 2я J ют (со) — ш dco
— OO — OO
(14.42)
В тождественности выражений (14.39) и (14.42) легко убедиться непосредственно.
Разумеется, в случае контура еще ничего не изменилось, но при обоібщениях (например, для колебаний в щели) работать нужно, именно отправляясь от выражения (14.42) и, главное, с использованием частот соа(со), аналогичных частоте coi(co). Последняя методика известна (см. § 100—102 в [126] и [181]). Пусть вся система погружена в некоторый вспомогательный резонатор с идеально проводящими стенками, причем частота со рассматривается как параметр, а собственные частоты резонатора соа (со) определяются из однородных уравнений поля
rot Hco (ш) (со, г) = — (м) [ є (со, Г, г') ЕИ(1 (СО) (со, г') dr', )
с J } (14.43)
rot Ecoa (со) (со, г) == -ІІЇіМ H% (со) (со, г), |
где є—линейный оператор, фигурирующий в (14.24), причем тензорные индексы i, j для упрощения записи опущены. Из (14.43) очевидно, что при coa = со вспомогательный резонатор совпадает с реальным (т. е. с рассматриваемой системой) при отсутствии внешних и флуктуационных источников. Собственные функции Ecoa (со) (со, r)> Hcoa (а) (со, г) вспомогательного резонатора обладают рядом свойств (ортогональность и т. п.), позволяющих особенно просто найти вынужденные решения, зависящие от К (со, г), для реальной задачи, описываемой уравнениями (14.25). При этом средняя внутренняя энергия системы представляется просто в виде
+ OO
W=-Ly [ ">«»• r»2 COrfCO + я j < (со) — co2
а -оо a
+ -Y Г 7Vca^rfCO, (14.44)
2л i-' J cd2 (со) — сй2 da
а -оо a
что непосредственно обобщает выражение (14.42). Уже последнее обстоятельство делает очевидным, что при е"-»-0 (или R-* 0) выражение (14.44) переходит в (14.36) для W (то же, конечно относится к выражениям для Вместе с тем формула (14.44) справедлива и для поглощающих сред, и, как
319 ясно из (14.43), может использоваться также при учете анизотропии и пространственной дисперсии. В применении к задаче о щели (см. рис. 14.3) для изотропной среды без пространственной дисперсии, как можно убедиться [181, 194], из выражения (14.44) или, точнее, аналогичного выражения для свободной энергии*) Sr следует формула (14.33). При решении еще более сложных задач, например, когда среды 1 и 2 являются анизотропными [195], преимущества описанной методики разложения на собственные колебания становятся еще более разительными. Впрочем, не менее важно, что мы вычисляем свободную энергию
(или при низкой температуре практически совпадающую с ней внутреннюю энергию), в то время как в [190, 191, 184] вычисляется тензор напряжений — величина в общем более сложная. Можно думать, что именно такой подход будет доминировать при решении целого ряда родственных задач о молекулярных силах для разных сред в различных геометрических условиях, при вычислении свободной энергии в поглощающей среде и т. д. Во избежание недоразумений, необходимо вместе с тем подчеркнуть, что как в [184, 190, 191], так и в [181, 194] речь идет об одних и тех же задачах, общем подходе и, естественно, об одинаковых результатах. Нам лишь представляется методика [181, 194, 195] более простой и прозрачной, но, несомненно, подобные суждения часто являются довольно субъективными.
Остановимся теперь еще на одной электродинамической флуктуационной задаче — на вопросе о влиянии флуктуацион-ного напряжения в резонаторе на пролетающие через него электроны [196]. -
Пусть нерелятивистский электрон с начальной энергией K0 = 1I2MV2q входит в резонатор в момент / = 0 и выходит из него в момент т с энергией Kx = lJ2Inv2x. Поле в резонаторе считаем однородным и направленным по скорости электронов — по оси X (такой случай отвечает резонаторам определенной формы, например, схематически изображенной на рис. 14.4). Если
