Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
rot,. В (со, г) = - 5 Sii (о, г, г') Ei (со, г') dr' --f Ki (со, г), )
rot E (со, г) = ^- В. j
(14.25)
Связь (14.24) учитывает, очевидно, возможность наличия пространственной дисперсии, и поэтому можно без ограничений общности считать, что B = H (см. гл. 11). При пренебрежении пространственной дисперсией уже можно (а иногда и нужно) вводить магнитную проницаемость, и тогда при рассмотрении флуктуаций следует ввести также флуктуационную магнитную индукцию L(со) (см. § 90 в [44])*).
*) В настоящей книге мы часто ссылаемся на первое издание т. VIII курса [44]. Между тем ряд вопросов, освещавшихся в этом томе, вошел теперь в другие тома курса. Так, дисперсионные соотношения (соотношения Kpa-мерса — Кронига) и флуктуационно-диссипационная теорема излагаются в т. V [186], а электромагнитные флуктуации — в т. IX [184]. При этом в [184] принята форма изложения, при которой флуктуационные члены Ki и Li в явном виде не вводятся. Эти члены, однако, имеют довольно ясный физический смысл и, поскольку мы приводим лишь некоторые результаты вычислений, нам кажется более удобным и наглядным сохранить старую схему изложения.
319 Согласно флуктуационно-диссипационной теореме в равновесии
Ki (со, г) Kj (со, г') ^ (Ki (г) /ГИГ'))« =
= ih cth -^r {в/г (со, г', г) —ег/(со, г, г')}, (14.26)
где черта отвечает статистическому усреднению. При пренебрежении пространственной дисперсией и B = H имеем ё<(со, г, г')= = (со) б (г — г') и
(К, (Г) Ki (r')L = ih {Sb - е„- (со)} б (г - г') Cth ^r =
= 2Ae7,(<D)cth-J^-o(r-r'). (14.27)
Решая уравнения (14.25) для нахождения полей В и Е, вызванных флуктуационным членом К, и получая далее квадратичные выражения, можно, используя флуктуационно-дисси-пационные соотношения (14.26), (14.27), выразить результат через є"/ или затем через другие подходящие величины. Например, в прозрачной среде е"->0, но наличие в (14.27) б-функ-ции обеспечивает правильный предельный переход, скажем, к выражению (см. § 91 в [44] и §77 в [184])
(Е (г) E (r')). = ± (Н (г) H (г'))ш = 4S- cth Jgr,
(E2)w = ^(H2)co = ^n cth
(14.28)
где г = |г — г'| и показатель преломления п = л/е = д/є7, так как є" = 0.
Отсюда прямой путь и к получению формулы для равновесной плотности электромагнитной энергии в прозрачной диспергирующей среде (в таких случаях говорят обычно о тепловом излучении). Действительно, эта плотность равна *)
8 я v 'а da ' 8 я Zzco3 ( ^ d (an2) 4 ji2c3
іі2и2
ґ d(an2) , th — =
V dco ^ " ) Llu 2x7
__Ла_\ со2«2 d (an) _ П4 901
I 2 "г" ехр (Йсо/хГ) - 1 J я2с3 dco '
(E)2
*) Напомним, что используемые ниже в тексте величины таковы, что
+ OO OO
= ^ (j^2)ra da = 2 ^ (?2)га da. Кроме того, полная энергия определена
как W=^wa da, и нужно учесть выражение (6.29) или ему эквивалент-
O
ные (см., например, [44, 76, 84]).
319 здесь учтены соотношения (14.28), где уже отражен тот факт, что в поперечных нормальных волнах в изотропной среде (только они сейчас и рассматриваются) (H2)a = I2(E2)a.
С другой стороны, к формуле (14.29) можно значительно проще прийти непосредственно, считая, что каждый «осциллятор поля» (индекс а) имеет среднюю энергию
-.= (^ + .,A-!)-^*^ ("4.30)
а число таких осцилляторов в интервале da равно (множитель 2 учитывает два направления поляризации) 2 dkx dky dkz 8я&2 dk co2n2 d (an)
(2Ї01 = (2ji)3 da d®' (14.31)
dk d (an/c) , a , . поскольку -ф^- =-d A = —rt(co).
Полученные выражения для поперечного поля в прозрачной однородной среде (вообще говоря, без пространственной дисперсии, поскольку учитывались лишь две волны) легко обобщаются на произвольную прозрачную среду, в которой могут распространяться нормальные волны с показателем преломления «;(со, s), / = 1, 2, 3 . . . Конкретно, в этом случае
со2n2w (cd)
Wi (со, s) d&dQ =
(2яс)3
д (соnt)
да
dadQ, (14.32)
где ш(со)—функция (14.30) с со« = со, равная в классическом пределе хГ, и S = к/k — единичный вектор, отвечающий элементу телесного угла dQ. С применением выражения (14.32) мы уже сталкивались в гл. 10 (см. также указанную там литературу). Нет никаких сомнений в том, что к этой формуле можно прийти и исходя из флуктуационно-диссипационной теоремы (14.26) с ее последующим применением к произвольной среде и переходом к пределу е"/-> 0. Но для прозрачной среды такой путь несравненно сложнее и явно не адекватен задаче. Несомненно, ценность соотношения (14.26) и всего флуктуационного подхода со случайными индукциями и т. п. (см., например, (14.25)) связана с возможностью изучать на таком пути поглощающие среды, а переход к прозрачной среде служит обычно лишь для контроля.
Энергия электромагнитного поля в поглощающей среде *) составляет, вообще говоря, лишь малую часть от полной энер-
*) Понятие об энергии электромагнитного поля в поглощающей среде нуждается, вообще говоря, в уточнении, так как оно во всяком случае неоднозначно (см. гл. 13). Однако энергию поля в поглощающей среде, во-первых, можно ввести при уточнении модели среды и, во-вторых, что здесь особенно важно, в тепловом равновесии диссипация в среднем отсутствует и внутренняя энергия электромагнитного поля имеет вполне определенный смысл (см. также ниже).
