Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
причем в однородной среде, конечно, D = еЕ -f- (б, + бп) rot Е; материальное уравнение (11.32) отвечает связи между D и E в случае простейшей (изотропной) гиротропной среды.
Поступая теперь как обычно, получаем граничное условие
D2n — Dln = 6„, з rot„ E2 — 6„, [ rot„ Ei (11.33)
или
г2Е2п -BlEin + б,, a rot„ E2 — 6i,, rotre Ei = O, (11.34)
где вместо индекса z поставлен более общий индекс п, характеризующий направление нормали. Появление в (11.33), (11.34) дополнительных членов (по сравнению с условием (11.31)) объясняется, очевидно, недопустимостью при использовании
Г dDx f dDu
связи (11.32) пренебрегать интегралами j дх dz и dz
о о
даже при толщине переходного слоя между средами /->-0.
В оптическом диапазоне, где пространственная дисперсия мала (в (11.32) это означает, что б ~ а -С К), обобщение граничных условий типа (11.33), по-видимому, не представляет особого интереса в силу необходимости и при пренебрежении пространственной дисперсией несколько усложнить граничные условия (11.31) для учета нерезкости границы двух сред, присутствия на этой границе загрязнений и т. д. Однако в принципе, а на практике для сред с сильной пространственной дисперсией, нужно считаться с возможным изменением даже привычных граничных условий типа (11.31). Если граничные условия в электродинамике записываются в форме (11.2), то сказанное можно выразить в виде утверждения о необходимости уточнения выражений для поверхностных плотностей і и о, поскольку при учете пространственной дисперсии никогда нельзя, вообще говоря, считать, что і = 0 и а = 0 (см. (11.2) и (11.33), (11.34)).
Сделаем еще одно замечание методического характера, связанное со следующим вопросом, который часто задают. Дисперсионное уравнение связывает к с со и, следовательно, є,; (со, к)
<264 фактически зависит только от со. Как же отличить пространственную дисперсию от частотной? Ответ заключается в том, что тензор є,/(со, к) вводится (скажем, в (11.5)) отнюдь не для нормальных волн, для которых к и со связаны между собой, а для произвольного электромагнитного поля, имеющего источники (см. (11.1)). В таком поле волновой вектор к и частота ю совершенно независимы. Рассмотрим, например, среду в поле типа E = Е0ехр(('кг) с произвольным к и частотой со = 0. Такое поле порождает индукцию D = Doexp(Zkr), которая связана с полем E соотношением (11.5), где Zij = Bij (0, k). Ситуация аналогична для любой частоты со. Отсюда, между прочим, ясно также, что именно тензор є,/(со, к), а не показатель преломления Я (со, s) является фундаментальной величиной, определяющей электродинамические свойства среды.
Энергетические соображения в кристаллооптике обычно не используются или, во всяком случае, имеют второстепенное значение. Поэтому не будем здесь сколько-нибудь подробно останавливаться на этой стороне дела (см. § 3 в [76]; см. также гл. 13 настоящей книги) и ограничимся только обсуждением одного вопроса.
Из уравнений поля (11.1) обычным образом следует теорема Пойнтинга:
-к (Ef - + = - ^rdiv tE?i - ^e- о:'-35)
При учете частотной и особенно пространственной дисперсии, а также поглощения использование и интерпретация соотношения (11.35), вообще говоря, отнюдь не очевидны. Та же простота, к которой привыкли при пренебрежении дисперсией и поглощением (когда полагают, скажем, D = еЕ и получают выражение для плотности энергии еЕ2/8я), весьма обманчива, поскольку при учете дисперсии и (или) поглощения ситуация изменяется. Более подробный разбор этого вопроса можно найти, как указывалось выше, в § 3 монографии [76] (см. также, например, [44, 84]). Сейчас же приведем пример среды без частотной дисперсии. Именно, рассмотрим гиротропную среду, в которой DnE связаны соотношением (11.32), причем є и бі, п не зависят от частоты. Тогда (11.35) принимает вид (6 = = 6, + 6,,)
д ( еЕ2 + B2 + 6 (ErotE) I с ( гсп1 6 Гр OE-11
-ж {-ш.-lI=-T^div 1[ЕВ]- ^Ie-W-JI +
+ grad (2й„ - й) [Jr-?-]-JextE. (11.36)
Из этого выражения видно, во-первых, что учет пространственной дисперсии, когда б ф 0, приводит к появлению доба-6 (Е rot Е)
вочного члена -l^-- в выражении для плотности энергии и
<265 члена — "^"[e-^j-J в выражении для плотности потока энергии. Во-вторых, в (11.36) фигурирует член Л = -^-grad (2бп — б) X
X[E-|y-j, пропорциональный grad (26ц—o) = grad(6H — б і) и,
таким образом, отличный от нуля (локализованный) лишь близ границы раздела между средами. Если А Ф 0, что имело бы место при oi ф бц, на границе раздела происходит выделение или поглощение энергии. Результат, конечно, необычный, но в принципе еще возможный, например при возбуждении каких-го поверхностных волн. Тем не менее появление члена А представляется подозрительным и возникает вопрос, не исчезает ли он в общем случае в силу соблюдения условия
6i = 6n = V26. (1 1.37)
Условие (11.37) и условие, обобщающее его на случай анизотропной среды, считались иногда вытекающими из требования, чтобы соотношение Пойнтинга (11.36) имело вид закона сохранения энергии в обычной форме
