Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Частоты со = со||, удовлетворяющие уравнению (11.29), суть частоты, которыми могут обладать продольные волны. Для изотропной среды из (11.29) получаем условие
е(а) = 0. (11.30)
Разумеется, к этому весьма важному условию можно прийти сразу же, рассматривая изотропную среду без пространственной дисперсии, когда D(со) = є (со) E(со). Поскольку в продольной волне по определению Ец = Ек/к, то в ней D = O (см. (11.22)) и поле E может быть отлично от нуля только при условии (11.30). При учете же пространственной дисперсии уравнение (11.28) дает ДЛЯ продольных волн дисперсионную зависимость co11= co11 (к).
В кристаллооптике основную роль играют волны с Ej. Ф 0, поскольку именно эти волны наиболее интенсивно возбуждаются светом. Для таких волн при учете пространственной дисперсии уравнение (11.27) может иметь в некоторых спектральных областях не два, а больше решений. Однако даже в том случае, когда новые решения («дополнительные волны») не возникают, пространственная дисперсия приводит к ряду новых явлений, среди которых наиболее важными являются естественная оптическая активность (гиротропия), а также оптическая анизотропия кубических кристаллов (при неучете пространственной дисперсии кубические кристаллы, как известно, оптически изотропны). Все эти явления уже упоминались и обсуждаются ниже, причем в рамках феноменологической теории для их анализа необходимо знание зависимости тензора ег/(со, к) от к при малых к.
Прежде чем перейти к этому вопросу, сделаем ряд замечаний. Так, нужно напомнить, что при рассмотрении зависимости e,/(co, к) от к следует иметь в виду, что соотношение (11.5), связывающее величины DhE при одном и том же значении к, было выше получено благодаря допущению о пространственной однородности среды. Кристаллы же в действительности не являются пространственно однородными средами» поскольку, на*
<262 пример, узлы решетки не эквивалентна другим точкам. Поэтому использование тензора е,-/(со, к), введенного в предположении об однородности среды, в применении к кристаллам заведомо должно быть ограничено. Анализ этого вопроса (см. [76]) позволяет сделать вывод о том, что в кристаллах использование соотношения (11.5) является обоснованным, если только волновой вектор к мал по сравнению с базисными векторами элементарной ячейки обратной решетки, т. е. если k -С 1/а или X а, где а—постоянная решетки. Эти неравенства, ясные уже и из чисто качественных соображений, заведомо выполняются в оптическом диапазоне длин волн, где а/Х ~ 10~3. Поэтому ниже мы в кристаллооптике пользуемся тензором є,/((о, к) без ограничений.
Другой и совершенно независимый вопрос об условиях применимости материального уравнения (11.5) при учете пространственной дисперсии возникает при переходе от кристаллов бесконечно протяженных, что, разумеется, является абстракцией (которая, однако, была использована при переходе от (11.3) к (11.5), (11.6)), к кристаллам конечных размеров. Поскольку соотношение (11.3) является интегральным, то в нем учтено наличие границ кристалла и содержатся точные граничные условия для полей. Если точка г удалена от поверхности кристалла на расстояния, значительно превышающие размер R окрестности, вносящей основной вклад в величину индукции, то ядро Eij становится равным ядру ъц в (11.6), используемому для бесконечно протяженного кристалла. Для таких точек, очевидно, электрическое поле в виде (11.4) приводит к появлению индукции D (г, t) = D (со, ft) ехр [г (kr— со/)], также имеющей вид плоской волны, причем соотношение между амплитудами DhE определяется как раз выражением (11.5). Из сказанного, таким образом, следует, что использовать материальное уравнение в виде (11.5) можно, если толщина кристалла велика по сравнению с R. Обычно в диэлектриках величина R <~ а, где а — постоянная решетки.
Нужно заметить, кроме того, что при рассмотрении дополнительных волн и вместе с тем использовании тензора є,/(со, к), а не общей интегральной связи (11.3), граничных условий (11.2) недостаточно. Дополнительные граничные условия в принципе могут быть получены из (11.3), но обычно они вводятся менее строго из различных соображений (см. § 10 в [76]). В связи с вопросом о граничных условиях в электродинамике сред с пространственной дисперсией нужно сделать еще одно замечание, которое следует иметь в виду и при отсутствии дополнительных волн. Речь идет о необходимости при конкретизации граничных условий (11.2) учитывать возможную роль высших производных. Поясним это на примере уравнения div D = O. Для получения граничного условия на границе между средами 1 и 2 про-
<263 изводят предельный переход — интегрируют уравнение
dDv dD„ dD,
div D =
и
дх dz dz
по направленню, перпендикулярному размытой границе раздела. Выбирая это направление за ось г и производя переход к резкой границе раздела, получаем условие
D22-Dl2 = E2E2z-BiElz = O, (11.31)
где для перехода ко второму выражению положено D = eE, Причем B первой Среде Є = Єї И BO второй Среде В = Є2- Предположим теперь, что
D = еЕ + б, rot E + rot (б„Е), (11.32)
