Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
(14.54)
4. ВЫРОЖЦЕННОСТИ В СЕМЕЙСТВАХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Семейства линейных операторов, зависящие от управляющих параметров, могут содержать отдельные матрицы с вырожденными собственными значениями. Какие же типы вырожден-ностей могут встречаться в А-параметрическом семействе
340
Глава 14
линейных операторов? Ответ на этот вопрос можно получить, используя результаты, изложенные в предыдущих разделах.
Если k=\, характеристическое уравнение в общем случае может иметь лишь дважды вырожденный корень. Наиболее вырожденный член 1-параметрического семейства имеет следующую жорданову каноническую форму:
a2Pv • • • • (14.55)
Если k = 2, характеристическое уравнение может иметь один трижды вырожденный корень или два дважды вырожденных корня (остальные корни невырожденные) и жордановы канонические формы имеют вид
а3Ру • • • и а2р2у .... (14.56)
Эти формы соответствуют функциям с одной троекратной вы-рожденностью сборки или двумя двукратными вырожденностя-ми складки.
Если k = 3, возможны следующие случаи:
a4, аа, а3р2, а2р2у2. (14.57)
Очевидность первого, третьего и четвертого случаев следует из интуитивных соображений пересчета, который, кстати, может быть выполнен достаточно строго. В результате имеем один управляющий параметр для того, чтобы сделать равными два собственных значения, что аналогично ситуации, когда имеется один управляющий параметр для вырождения каждой критической точки или каждого слияния критических значений. Матрица имеет вид
«. = [“ °]. (14.58)
Покажем, что такие матрицы встречаются при рассмотрении случая трех управляющих параметров.
Диагональная /г X «-матрица XI„ обладает л-мерным универсальным возмущением. Размерность возмущения может быть понижена на единицу, если взять возмущенную матрицу, имеющую тот же след, что по существу соответствует переносу центра тяжести мультиплета в нуль (или переносу начала координат) , в результате которого из потенциальной функции, описывающей катастрофы Ак (х,-корни), исключается член (*i -f- ... ... -\-xk)xk.
Более общо, aPaq представляет жорданову (р + <7)Х(Р + <7)-матрицу. Верхний жорданов рХр-блок имеет +1 на диагонали, расположенной выше главной диагонали. Таков же и нижний жорданов блок. Внедиагональные блоки нулевые. Жорданова
Канонические формы Жордана — Арнольда
341
матрица а3а2 имеет структуру типа (14.3). Матрица а2а впервые устойчиво встречается в 4-параметрическом семействе, так как
2 + 3X1 — 1=4 [ср. с (14.37)]. Значения к, при которых может впервые устойчиво встречаться жорданова матрица вида apaqar ..., приведены в табл. 14.1. Используя эту таблицу, можно составить перечень наихудших возможных вырождений, которые могут типично встречаться в ^-параметрическом семействе линейных операторов. Этот перечень зависит от k и не зависит от п размерности пространства состояний, в котором действуют линейные операторы при условии, что сумма вырож-денностей не превышает п. Перечень вырожденных жордано-вых форм приведен в табл. 14.2. Канонические формы Жордана-Арнольда (универсальные возмущения), соответствующие каждой вырожденной матрице (ростку), могут быть легко построены, если следовать формулам (14.34) и (14.36).
Таблица 14.1. Жордановы блоки вида ania”2a”3 = ... = которые могут впервые встречаться в Л-параметрических семействах матриц [1]
К 1 2 3 7 8 11 12 15
{М 2 3 4 8 9 12 13 16
1, 1 5, 1 6, 1 9, 1 10, 1 13, 1
2, 2 3, 2 6, 2 7, 2 10, 2
1, 1, 1 4, 1, 1 5, 1, 1 8, 1, 1
3, 3 4, 3 7, 3
2, 2, 1 5, 2, 1
4, 4 1, 1, 1, 1
Таблица 14.2. Наиболее вырожденные матрицы, которые, как правило,
могут встречаться в ^-параметрических семействах
матриц [1]
к Жорданова форма
1 а2
2 а3, а2Р2
3 а4, аа, а3Р2; a2P2v2
4 а5, а2а, а4Р2, аар2, a3p2v2, а3р3, агР2^2й2
342
Глава 14
5. БИФУРКАЦИОННЫЕ МНОЖЕСТВА
КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМ ЖОРДАНА —АРНОЛЬДА
Если М(с°) — вырожденная матрица в ^-параметрическом семействе линейных операторов М(с), то типичное возмущение полностью ликвидирует вырожденность собственных значений. Попытаемся выяснить, как расщепление собственных значений связано с возмущением с0—> с° + 6с, с учетом того факта, что подмножество возмущений меры нуль не будет ликвидировать полностью вырожденность, и какова структура этого подмножества в пространстве управляющих параметров R*. Поскольку конкретные жордановы «ростки» имеют канонические возмущения, то на эти вопросы можно ответить «канонически». По существу эти вопросы полностью аналогичны таким вопросам элементарной теории катастроф, как: что представляет собой критическое каноническое многообразие и каково каноническое бифуркационное множество?
