Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, исследовательская программа теории катастроф для систем линейных уравнений и функций полностью совпадает.
В данной главе анализируется связь, существующая между системами линейных уравнений, и вводится жорданова каноническая форма матрицы в тех случаях, когда имеется вырождение, рассматриваются произвольные и минимальные возмущения жордановых канонических форм, причем их значение поясняется путем обсуждения матричных аналогов элементарных катастроф типа Л2, Л3, Л4, а также определяется полный спектр самых плохих возможных вырождений, которые могут устойчиво встречаться в ^-параметрическом семействе линейных операторов, и исследуется бифукационное множество, связанное с любым жордановым ростком.
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ПРОГРАММА
ТЕОРИИ КАТАСТРОФ
В СЛУЧАЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Специалистам самого различного профиля довольно часто приходится иметь дело с системами линейных уравнений, зависящих от п переменных состояния хе.С, которые в свою очередь удовлетворяют следующим двум условиям:
SB(ах(1) + Рл:(2)) = аЗ?(л:(1)) + pi?(х(2)) (линейность), (14.1) З’(х) = 0 (уравнение).
*) Впервые исследование универсальной деформации жордановых канонических форм методами теории катастроф было выполнено В. И. АрнбЖ'Дом.
328
Глава 14
Любой линейный оператор в [С* может быть представлен как квадратная матрица порядка п. Поэтому изучение канонических форм систем линейных уравнений сводится к изучению канонических форм матриц размером п\п. При помощи преобразования подобия 5 (переход к новому базису) любая комплексная матрица может быть приведена к жордановой канонической форме
M + SMS-1 =
J,<х,)
•им
(14.2)
где Яь Х2, ••• — собственные значения М, имеющие кратности (вырожденности) du d2, ...; /г — жордановы матрицы, т. е. квадратные матрицы порядка di с Xi по главной диагонали, 1 и О на диагонали, расположенной выше главной диагонали (остальные элементы — нули). Например,
J(X)-
1
X
о
1
X
о
X
(= Х*Х2).
(14.3)
(Мы будем иметь дело в основном с комплексными матрицами.)
Если семейство линейных систем L(x; с) зависит от управляющих параметров с е <СД то некоторые члены семейства могут быть вырожденными. В связи с этим жорданова каноническая форма, соответствующая типичному члену семейства, может быть совершенно отличной от жордановой канонической формы, соответствующей вырожденному (в большей или меньшей степени) члену семейства. Поэтому преобразование подобия, приводящее члены семейства к жордановой канонической форме, будет зависеть от управляющих параметров разрывно. Таким образом, становится очевидным, что методы, используемые при изучении функций, их канонических форм и универ-
Канонические формы Жордана — Арнольда
329
сальных возмущений, могут быть использованы для изучения аналогичного спектра вопросов в случае систем линейных уравнений. Однако сначала рассмотрим следующие примеры.
Пример 1. Имеется линейный оператор 9? — Indldt — М в пространстве Сга> где М — квадратная матрица порядка п, jeC*. Соответствующая линейная система может быть представлена как
dt
х = М (с) х,
(14.4)
при этом предполагается, что матрица М зависит от управляющих параметров се С". Если п собственных значений Ai(c), Я2(с), А„(с) различны при
с = 0, то в силу соображений непрерывности они также будут различны и при малых с. Следовательно, если собственные значения Л1(0) различны, то собственные значения произвольного возмущения
д
М (6с) = М (0) + бМ, бМ = бса
дс,
¦М (с)
с=0
матрицы Л1(0) также различны.
Пример 2. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
х + рх + qx + гх = 0,
(14.5)
где точки обозначают производные по времени. Это уравнение может быть приведено к канонической матричной форме посредством замены
У1 = X, у 2 = X, у 3 = X.
Тогда
~У 1 “ 1 ~ У1 “
О
О
|_
d г/2 = о г/г
It о
_ Уг _ 1 _ г/з _
1
1
1
"О
(14.6)
(14.7)
Теперь попытаемся установить, что произойдет, если немного «пошевелить» управляющие параметры (р, q, г) е С3. Для этого вычислим собственные значения матрицы М, соответствующей линейному уравнению (14.5), используя характеристическое уравнение, которое получается непосредственно из
(14.5) путем замены d/dt -»-Л:
Я3 + рЛ2 + q% + г = 0. (14.8)
Если характеристическое уравнение имеет три различных корня, то возмущение параметров (р р + бр и т. д.) не оказывает влияния на каноническую структуру, соответствующую линейному уравнению (14.5) и его корням. Внимания заслуживает только случай, когда среди корней уравнения (14.5) имеются вырожденные. Не вдаваясь в подробности, можно с. помощью замены X = У— (I/3)р перенести центр тяжести собственных значений в нуль и таким образом получить кубическое уравнение Я'3 + АХ' + В = 0, не содержащее квадратичного члена. В результате становится очевидным, что интересующие нас точки в новом пространстве управляющих параметров {А, В) е С2 лежат на бифуркационном множестве сборки.
