Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для доказательства предположим противное. Пусть, например, V и V" — две отличные друг от друга точки сгущения последовательности av а2, аь, ... , именно, пусть точки а\>, а%>, а3>, ... сходятся к V, а точки а1», а2», а&, ...— к точке V". Согласно замечанию, сделанному в § 31, для каждой точки ak существует движение, состоящее из двух полуоборотов, которые переводят произвольную точку в точку a,»— ak и одновременно точку ав точку а,« —ak. Числа ati—ak и atn—ak при возрастании индексов подходят сколь угодно близко к 0, а потому, в силу теоремы § 34, существуют движения, которые переводят точку, как угодно близкую к V", и одновременно точку, как угодно близкую к V", в любую близость точки 0. А это невозможно в силу аксиомы III, как легко показать с помощью уже не раз применявшихся рассуждений.
§ 36. Еслн мы теперь точке, к которой сходятся точки alt а2, а3, ..., отнесём число а, то тем самым каждому действительному числу будет поставлена вполне определённая точка нашей плоскости; систему всех этих точек мы будем называть истинной прямой-, таким образом, под этой истинной прямой понимают ту систему точек, которая получается из точек О, Е, если последовательно брать середины, производить полуобороты и присоединять к этой системе точки сгущения всех полученных таким образом точек. Все системы точек, полученные путём движения этой истинной прямой, также называются истинными прямыми. Истинная прямая каждой своей точкой разбивается на две полупрямые.
§ 37. Опираясь на лемму § 25, мы легко убедимся, что при полуобороте нашей истинной прямой около произвольной точки а точка х переходит в точку 2а — х;
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
299
при, выполнении двух полуоборотов — ОДНОГО около точки 0, другого около точки а — точка х переходит в х-\-2а.
На основании теоремы § 35 легко показать, что и в том случае, когда av а2, ац, • • • есть сходящаяся к а последовательность чисел произвольного вида, последовательность соответствующих точек аь а2, а8, ... стремится к соответствующей точке а, т. е. истинная прямая есть непрерывная кривля.
§ 38. Рассмотрим предположение, что существуют какие-то два числа а и Ь, которым на истинной прямой
соответствует одна и та же точка Р. Точка —?¦— , являясь
серединой отрезка (<т, Ь), должна опять-таки совпасть с точкой Р. То же самое должно иметь место и для
/ а 4- b\ /а -4— b ,\ середины отрезков (.а, —~\ и (—~—, oj, т. е. для то-
Зй + 6 n-f3S п Л
чек —j— и —^—. Продолжая, далее, брать середины
й Апа -f- SJb
отрезков, мы убеждаемся, что все точки - ~ -, где
Ак, Вп суть два целых положительных числа, в 'сумме составляющие 2", должны совпасть с Р; отсюда, в силу сказанного в § 37, следует, что вообще все действительные числа, лежащие между а и Ь, должны соответствовать одной и той же точке Р прямой. Это противоречие показывает, что истинная прямая не имеет двойных точек. Точно так же мы убедимся в том, что истинная прямая не может повернуться назад по себе самой.
§ 39. Две прямые имеют не более. одной общей точки.
Действительно, если бы они имели две общие точки А и В и если бы на одной прямой этим точкам соответствовали числа а, Ь, а на другой прямой — числа а', Ь', то сере-
а + b а' + Ь' дины —^— и —— соответствующих отрезков также
должны были бы совпасть. Продолжая дальнейшее рассмотрение середин, как это было сделано в § 38, мы подобным же образом приходим к заключению, что все точки, лежащие между а и Ь на одной из этих прямых и между
300
ДОБАВЛЕНИЕ IV
а' и Ь' на другой из них, совпадают; следовательно, совпадают и сами этн прямые.
§ 40. Наша истинная прямая пересекает каждую окружность, описанную около какой-либо её точка, например, около точки 0.
Действительно, если сделать противоположное предположение, то представляются возможными только два случая: либо существует вполне определённая окружность ж с центром в точке 0, которую прямая g ещё встречает, между тем как любая окружность, охватывающая ж и имеющая своим центром точку 0, с прямой g уже не встречается; либо существует вполне определённая окружность ж, которую прямая g не встречает, между тем как все проходящие внутри ж окружности и имеющие центром точку 0, с прямою g встречаются.
Так как прямая g, в силу своего построения, всегда может быть продолжена за любую свою точку и, как это было показано в § 38, не может иметь двойных точек, то в первом случае внутри ж необходимо должна существовать окружность с центром в точке 0, которую прямая g встречает в двух точках Л и В, лежащих на ней по одну сторону от 0, причём точка В берётся на продолжении прямой g за А и достаточно близко к А внутри ж. Если теперь сделать поворот около точки 0 так, чтобы точка А перешла в В, то наша прямая g перейдёт в другую прямую, которая пересекается с прямой g не только в точке 0, но и в точке В, что невозможно в силу теоремы, доказанной в § 39.
