Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
*'=т
где Д (t) — непрерывная возрастающая нли убывающая функция, которая при увеличении аргумента t на 2тг изменяется также на 2тг.
Функциям Д (i), которые убывают при увеличении аргумента t, соответствуют преобразования, меняющие направление обхода на истинной окружности, а так как, в силу нашего определения понятия движения, направление обхода должно при движении всегда сохраняться, то оказывается, что при возрастании аргумента t функция А(/) должна всегда также вырастать.
§ 14. Выясним сначала, может ли в этой группе вращения вокруг точки М существовать такой поворот, при котором точка А истинной окружности х остаётся неизменной. Пусть t — a — параметр такой точки А и пусть эта точка остаётся неизменной при некотором повороте Д, который мы представим формулой
Г = Д(<).
ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
275
Далее, пусть В—некоторая точка истинной окружности % с параметром t=b, меняющая своё положение при вращении Д. Положим, что Ь<^а; этим предположением мы не ограничиваем общности наших рассуждений.
Как функция Л(/), так и обратная ей функция Д-1 (t) при убывании аргумента убывают. Так как Д(а) = а, то мы подряд выводим отсюда, что все величины, которые можно представить с помощью символических степеней
Д (b), ДД (Ь) = Д2 (b), Д3 (Ь),..., Д-> (Ь), Д-2 (Ь), Д-ЦЬ),
меньше а. Если Д (Ь)~^> Ь, то величины
Д(&),Д*(&),Д*
образуют возрастающую последовательность. Если же Д(b)<^b, то это же утверждение справедливо для последовательности
Д"1 (Ь), А-ЦЬ), Д-3(&),...
Отсюда мы заключаем, что непосредственное повторение вращения Д по отношению к b в первом случае и символические отрицательные степени Д(Ь) во втором случае должны приближать нас к некоторому предельному значению g, которое либо лежит между а и Ь, либо совпадает с а. Пусть предельному значению g соответствует некоторая точка G на истинной окружности х. Тогда степени Д с положительными или, соответственно, отрицательными показателями образуют движения, при которых точка В подходит в конце концов сколь угодно близко к G и в то же время точки, находящиеся в сколь угодно малой окрестности точки G, остаются в сколь угодно малой окрестности точки G. Согласно аксиоме III, в таком случае должно существовать движение, переродящее точку В в G и в то же время оставляющее точку G на месте, что, однако, противоречит понятию движения. Следовательно, поворот Д, который оставляет на месте точку А, обя-зшельно должен оставлять на месте все точка окружности х, т. е., должен для. этой окружности сводиться к тождественному преобразованию.
18*
276
ДОБАВЛЕНИЕ IV
§ 15. Из определения истинной окружности непосредственно ясно следующее:
Существует такой поворот вокруг точки М, который переводит одну произвольно заданную точку О истинной окружности х в другую произвольно заданную точку S той же окружности.
§ 16. Мы найдём сейчас ещё одно свойство группы движений, переводящих истинную окружность в самоё себя.
Пусть О, S. Т, Z — четыре точки истинной окружности X, выбранные так, что при повороте вокруг точки М, переводящем точку О в S, точка Т переходит в Z, и, таким образом, положение точки Z однозначно определяется точками О, S, Т. Если мы точку О закрепим на месте и будем точки S и Т передвигать по истинной окружности, то при непрерывном изменении положения точек S и Т положение точки Z будет меняться также непрерывно.
Чтобы показать это, возьмём две бесконечные последовательности точек Sv S2, Ss,... и Tv Г2, Г3,..., сходящиеся соответственно к точкам S и Т. Повороты вокруг точки М, при которых точка О переходит в Su S2, Ss, ... мы обозначим через Д,, Дз, Д3,..., а точки, в которые в результате этих поворотов переходят точки Г,, Г2, Г3>.. обозначим через Zv Z2, Z3,..требуется в таком случае показать, что точки Z,, Z2, Z3,.. . сходятся к точке Z. Пусть Z* служит точкой сгущения множества точек Z„ Z2, Z3,... Согласно аксиоме III, существует в таком случае вращение вокруг точки Ж, которое точку О переводит в 5 и в то же время точку Т—.в Z*. Таким образом, оказывается, что точка Z* определена однозначно и тождественна с точкой Z.
§ 17. В §§ 14—16 мы узнали, что группа всех вращений истинной окружности х, переводящая эту окружность в самоё себя, обладает следующими свойствами:
1. Нё существует никакого поворота вокруг точки Ж — кроме, конечно, тождественного преобразования, — который оставил бы на месте одну какую-либо точку истинной окружности х.
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
277
2. Если О и S суть две произвольные точки истинной окружности х, то всегда существует поворот вокруг точки М, переводящий точку О в 5.
3. Пусть при некотором повороте вокруг М точка О переходит в 5 и вместе с тем точка Т переходит в Z; однозначно определяемое этим условием положение точки Z на х меняется непрерывно, когда точки 5 и Т непрерывно перемещаются по окружности х.
Эти три свойства вполне определяют построение группы преобразований Л (г), которые соответствуют движениям, переводящим истинную окружность х в самоё себя. А именно, мы устанавливаем следующую теорему:
