Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
либо LPNM', оба случая противоречат тому, что L лежит
между М и N.
[]4] Пусть на прямой а дана точка О. Возьмём на той же прямой произвольную точку А и разобьём все точки прямой а (крэме точки О) на два класса; к первому классу отнесём точки, образующие вместе с точкой А отрезки, на которых точка О не лежит; ко второму классу отнесём все остальные точки, т. е. все точки, образующие вместе с точкой А отрезки, заключающие точку О. Докажем следующие два утверждения:
1. Если точки М и N принадлежат к одному и тому же классу, то точка О не лежит на отрезке М N.
Здесь могут быть два случая, а) Точки М и N принадлежат к первому классу. Тогда, записывая расположение точек А, М, N,0 в том порядке, который установлен теоремой 5, мы должны будем точку О поместить на крайнее место, так как иначе она, вопреки- предположению, попала бы либо' между точками А и М, либо между точками А и N. Итак, точка О должна в этом случае лежать вне отрезка MN. б) Точки М и N принадлежат ко второму классу, т. е. точка О лежит как между А и М, так и между А и N. В таком случае, в силу теоремы 5, возможны только следующие расположения точек: AOMN, AONM, т. е. точка О при этом наверное не лежит на отрезке М N.
2) Точка О лежит на всяком отрезке М N, концы которого принадлежат-к различным классам.
Положим для определённости, что второму классу принадлежит точка М, т. е. между точкой М н А лежит точка О. Так как точ <а О не лежит между N и А, то вся четвёрка точек, в силу теоремы 5, может иметь одно из следующих двух расположений: MOAN, MONA, что и доказывает наше утверждение.
ПРИМЕЧАНИЯ [14 —15]
409
Эти утверждения показывают, что произведённое нами разбиение точек на два класса определяется только точкой О, а отнюдь ие выбором точки А. Каждый нз этих классов называется лучом. Таким образом, любая точка О на прямой разбивает эту прямую (без точки О) иа два луча. Про точки, лежащие иа одном и том же луче, говорят, что оии лежат по одну сторону от точки О.
[15] При доказательстве теоремы 9 мы будем пользоваться понятием угла и ссылаться на утверждения, помещенные в основном тексте иа стр. 68 н доказанные в примечании [19]. Хотя определение угла и указанные утверждения помещены в тексте после аксиомы конгруентности (Ills), однако ни это определение, ни доказательство этих утверждений ие используют аксиом конгруентности (как это и отмечено в самом тексте у Гильберта). Поэтому, пользуясь понятием угла, мы отнюдь не выходим за пределы аксиом групп 1 и 11.
В этом примечании для краткости мы будем пользоваться терминами «ломаная линия» и «многоугольник», понимая под ними всегда простую ломаную линию и простой многоугольник.
Доказательству утверждений, содержащихся в теореме 9, мы предпошлём несколько лемм.
Лемма 1. Все точки плоскости а, не принадлежащие многоугольнику SP, делятся этим многоугольником на два класса: на точки, обладающие тем свойством, что все ис-
А
ходящие из них лучи проходят через чётное число раз, и на точки, обладающие тем свойством, что все исходящие иэ них лучи проходят через $ нечётное число раз.
Подсчёт числа прохождений луча или прямой через многоугольник мы будем вести по следующему правилу: за одно прохождение мы будем принимать:
1) либо пересечение луча с отрезком, служащим стороной многоугольника;
2) либо прохождение луча через вершину многоугольника В, если при этом стороны ВА и ВС многоугольника, исходящие из этой вершины, окажутся по разные стороны от луча (черт. 4, но не черт. 5);
410
ПРИМЕЧАНИЯ [ 15]
3) либо прохождение луча через две соседние вершины многоугольника F и G, при условии, что две другие стороны многоугольника EF и GH, примыкающие к этим же вершинам, лежат по разные стороны от луча (черт. 6, но не черт. 7).
При доказательстве этого мы будем понимать под словом «угол» совокупность двух лучей, исходящих нз толки О (не лежащей на $), даже и в том случае, когда совокупность этнх
лучей н точки О образует одну прямую, т. е. когда речь идет
о «развёрнутом» угле. Под внутренними точками такого угла мы будем понимать точки, лежащие по одну определённую (безразлично какую) сторону от прямой, на которой лежат стороны угла.
Из определения термина «луч проходит через многоугольник» следует, что если одна из сторон, например Л, угла (A, k) проходит через многоугольник то стороны многоугольника (случаи 2 и 3) нли отрезки одной из сторон (случай 1), примыкающие к точке (или стороне) многоугольника, лежащей иа луче А, будут расположены по разные стороны от прямой А. Выкинем из многоугольника все точки, в которых луч Л или луч к проходит через многоугольник (случаи 1, 2) и все отрезки типа FQ (черт. 6), отвечающие прохождению луча А или к через многоугольник (случай 3). Тогда многоугольник распадается на куски, каждый из которых будет расположен либо целиком внутри угла <$(A, к) (н, может быть, частью на его сторонах), либо целиком вне угла <J(ft, к) (и, может быть, частью на его сторонах). При этом соседние куски расположены всегда одии внутри, а другой вне угла <^(А, к). Так как многоугольник замкнут, то общее число кусков может быть только чётным. Поэтому число прохождений обоих лучей А и k через многоугольник должно быть также чётным. Отсюда следует, что число прохождений луча А через многоугольник будет чётным нли нечётным в зависимости от того, будет ли чётным нлн нечётным число прохождений луча к через этот же многоугольник.
