Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
J eiaiL (iu) Н (iu) ? (du) = 5 ешМ(1и)Ши),
— 00 —оо
П оо
тде L(iu) = 2 ak(iu)n~\ М(iu) = ? bk(iu)m~k, откуда, если L(iu) ft-0 ft-о
яе имеет вещественных корней,
"«-'if' «
Обратно, если процесс g(f) tn раз с. к. дифференцируем, М (iu) е j?2 {F}, L (iu) ФО (— оо < и < оо), то процесс
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
283"
п раз с. к. дифференцируем и удовлетворяет уравнению (19). Таким образом, при условии М(ш)е Ь(ш)ф 0 суще-
ствует единственный фильтр, соответствующий дифференциальному уравнению (19). Заметим, однако, что можно определить решение уравнения (19) и в более общих случаях. Допустим, что многочлен L(iu) не имеет вещественных корней. Фильтр с частотной характеристикой M(iu)/L(iu) существует и без требования М (iu)^ S?a{F}\ достаточно требовать только, чтобы
е i?2 {F}. Последнее выполняется всегда, когда степень п
многочлена L не меньше т. Таким образом, при л ^ т фильтр' с частотной характеристикой (20), знаменатель которого не обращается в нуль при действительных и, является допустимым для произвольного процесса на входе, и процесс на выходе фильтра мы отождествляем со стационарным решением уравнения (19). Ограничиваясь по-прежнему дифференциальными уравнениями, для которых многочлен L(x) не имеет чисто мнимых корней, выделим из дробно-рациональной функции. M(x)/L(x) целую часть Р(х) (она отлична от нуля, если* т ^ п) и остаток разложим на простые дроби. Тогда
где Р (iu) — ? dk (iu)k (т^п) и P (iu) — 0(m< n), Re p'k < 0 к
A**0
Rep? > 0, p'k и р'ь являются корнями многочлена L(x) — 0~ Так как
то процесс т\(t) на выходе фильтра можно представить в виде
оо
00
(ш — p)s (s— 1)! dp*'1
1 1 ds~l
(s-l)l
epte-iut (If
0
0
(Rep < 0)
и
о
(ш - p)s
epte-tut at (Re p > 0),
m—n oo oo
*1(9= ? dkf}(t) + \l(t-x)G,(t)dx + \t(t + r)G2(-t)dx,
A-0 0 0
284
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ, V
тде
(t > 0),
S и
п" ( h „ cki (s-l)l
°>Ю“-?|?-гпгпг)*’*' <'<»)•
А*»1 Ч5«1
Заметим, что если многочлен L(x) имеет корни с положительной действительной частью, то соответствующий фильтр физически неосуществим.
§ 5. Физически осуществимые фильтры
В настоящем параграфе рассматривается следующий вопрос: какие спектральные функции могут быть получены на выходе физически осуществимого фильтра? При этом на входе фильтра рассматривается в некотором смысле простейший случайный процесс.
Процессы, рассматриваемые в настоящем параграфе, неиз-менно предполагаются одномерными и стационарными в широком смысле. Поэтому слово «стационарный» иногда, а слова «в широком смысле» постоянно будут опускаться.
Начнем с рассмотрения стационарных последовательностей. Мы не будем переносить на последовательности всех определений и эвристических соображений, приведенных для процессов с непрерывным временем, хотя будем пользоваться соответствующей терминологией. Представим себе систему, у которой состояние на входе и выходе регистрируется только в целочисленные моменты времени t — 0, ±1, ±2, ...
Пусть на вход системы в момент времени 0 поступил единичный импульс. Реакцию системы на этот импульс в момент времени t обозначим через at. Если система не предвосхищает будущего, то at = 0 при t С 0. Если система однородна во времени, то реакция системы на единичный импульс, приложенный к системе в момент времени s, равна at-s. Реакция линейной
однородной и физически осуществимой системы в момент вре-
мени t на последовательность импульсов \п (— оо < п < оо) будет
t оо
П V) = Z at-nl(n) = ? anl(t — п). (1)
n= —oo n=0
Процесс, определяемый формулой (1), называют процессом скользящего суммирования.
$ 5] ФИЗИЧЕСКИ ОСУЩЕСТВИМЫЕ ФИЛЬТРЫ 285
Предположим, что 1(п)—некоррелированная последовательность случайных величин и
Ms (га) = 0, М| (п) | (tn) — Ьпт (— оо < п, т < оо).
Назовем ее стандартной. Она имеет постоянную спектральную
плотность.
Для с. к. сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы -
?|а„|2<оо. (2)
Если это условие выполнено, то процесс т}(/) также стационарен и
оо
Мл (0 = 0, Дп(0 = Z an+ian. (3)
л=0
Какие же последовательности могут быть таким образом получены?
Лемма 1. Для того чтобы стационарная последовательность г} (га) была реакцией физически осуществимого фильтра на стандартную последовательность случайных величин, необходимо и достаточно, чтобы последовательность г](«) имела абсолютно непрерывную спектральную меру и ее спектральная плотность f(u) допускала представление
