Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
j eitau2F (du) j emiuF (du)
— oo — oo
oo oo
- J e-ЧHuF (du) J eiiaF (du)
Разложение случайного процесса в ортогональные ряды. Пусть {?(0> t^.[a, &]} — измеримый с. к. непрерывный гильбертов процесс. Его ковариация B(i\, t2) является непрерывным неотрицательно определенным ядром в квадрате [a, b] X [а, Ь]. Согласно теории интегральных уравнений ядро B(tx, t2) может быть разложено в равномерно сходящийся ряд по своим собственным функциям ф„(0:
В (ti, t2) = ? Я„ф„ (/,) ф„ (/2),
П— 1
где
V и
Кч>п (0 В (t, s) ф„ (s) ds, J ф„ (0 q>m (t) dt = bnm,
причем собственные числа %n положительны. Положим
ь
Этот интеграл существует (теорема 1), и в силу следствия из теоремы 1
ь ь
M|Jm = 5 J В (t, s) фJfj фт (s) dt ds = Я„б„т.
5 1] ГИЛЬБЕРТОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 257
т. е. последовательность случайных величин ?„ (п = 1, 2, ...) является ортогональной. Далее,
ъ
М? (/) I„ = J В (/, s) ф„ (s) ds = Я,„ф„ (/).
а
Отсюда следует, что
М
*=1
2
= В (t, t) - 2 ? ф* (О М? (О I* + I л* | ф* (0 |2 =
k=1
ft=l
при п-+ оо равномерно по / в силу теоремы Дини.
Теорема 5. Измеримый с. к. непрерывный гильбертов процесс /е [а, ?>], может быть разложен в ряд
оо
= (16)
сходящийся в 3?2 пРч каждом t е [а, Ь]. В этом разложении %k — ортогональная последовательность случайных величин, M|?ft|2 = Aft, Aft— собственные числа, ф*(0—собственные функции ковариации процесса.
Замечание. Если процесс ?(/) гауссов, то его с. к. про-
ь
изводная и интегралы вида ^ f{t)t,{t)dt являются гауссовыми
а
случайными величинами. Поэтому, если ?(/)—вещественный гауссов процесс и M?(f) = 0, то коэффициенты ряда (16) являются независимыми гауссовыми величинами и ряд (16) сходится с вероятностью 1 при каждом i.
Действительно, независимость величин Ik вытекает из их ортогональности и гауссовости. Для сходимости ряда (16) с ве-
оо
роятностью 1 достаточно, чтобы сходился ряд ? М (1аФа (t))2 =
6 = 1
оо
= ? | Фа (0 |2. Но уже упоминалось, что этот ряд сходится
'ft-i
(и его сумма равна B(t, t)).
В качестве примера рассмотрим разложение в ортогональный ряд процесса броуновского движения на отрезке [0, 1]. При этом ?(0) = 0, М?(/)=0, D?(/)=/, B(t, s) = M?(/)?(s) = = min(/, 5). Собственные числа и функции ядра B(t, s) легко
258 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
находятся. Из уравнения
1 1 1 Мл (0 = J min (t, s) ф„ (s) ds = J вф„ (s) ds + J tcpn (s) ds
о 0 t
имеем ф„(0) = 0. Дифференцируя no t, получим '(/") =
1
= ^ Фп (s) ^s. откуда ф^ (1) = 0. Повторно дифференцируя, придем t
к уравнению Апф"(t)~ — <prt (/). Нормированные решения последнего уравнения, удовлетворяющие граничным условиям <Г„(0) = 0, ф^(1) = 0, имеют вид
Ф„ (0 = V^sin + -j) nt, Яй‘ = (« + у)2я2, л = 0,1,... Таким образом,
оо г
Zsin ( I '•-h
t(0-V2 ) iV- •' (17)
где In — последовательность независимых гауссовых случайных величин с параметрами (0, 1). При фиксированном t этот ряд сходится с вероятностью 1.
Другое разложение процесса броуновского движения может быть получено следующим образом. Положим §(/)=?(0—^»0)-Тогда |(0 — гауссов процесс с ковариацией B\(t,s)—. = min(<, s)—ts и MS; (0=0. Собственные числа и функции ядра Bx(t, s) находятся так же, как и в предыдущем случае. Мы приходим снова к уравнению knq"(t) = — ф„(t) с граничными условиями фп(0)= ф„(1)= 0, решения которого имеют вид
Ф„(0 = V2 sin tint, кп1 — п2 я2, /1=1,2,...
Таким образом,
iw=e(o-^a)=V2f;in-5^1
где |п (« = 1, 2, ...)—нормированная последовательность независимых гауссовых случайных величин, причем
1
In — V 2 ^ ? (0 sin mt dt.
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ
259
Так как Mg(1) = 1, М?2(1) = 1,
1
MU (1) = У2 $ м (g (0 — «(1)) ? (1) sin «я/ л = О,
О
ТО, ПОЛОЖИВ — получим
