Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
83.
Это равенство определяет состояние ф. Причина такого выбора заключается в том, что, как можно показать, в случае р-*-0 состояние ф?л0^ переходит в Фй00о,-у
Пшфрлох = Фооо,-х.. (4.67)
Р-+ о 0 0
Знак минус можно понять из рис. 4.2. Знак Л напоминает о том, что, когда вектор р направлен вдоль отрицательной оси z, мы пользуемся не уравнением (4.55) с 0 = л, ф=0, а уравнением
(4.66).
Рис. 4.2. Двухчастичное спиральное состояние, относительный импульс которого имеет общее направление в плоскости хг. Спиральная система для частицы Ь соответствует условию (4.66)
Если р=^=0, то имеем
Jz<paJooxa>,b = (К — 1Ь) 4>р00ка1ь- (4.68)
Состояние в с. ц. м. с импульсом р вдоль направления (0, ф) получаем с помощью поворота R((p, 0, 0). Таким образом,
= U{R (ф’ 9’ 0)) (4‘69)
Следует заметить, что в этом формализме трактовка двух частиц асимметрична, поскольку на практике мы должны установить, которая из частиц первая (а), а которая вторая (Ь). Разумеется, никакой физический результат не может зависеть от этого выбора.
4.6.2. Разложение по собственным состояниям момента количества движения: Рассмотрим теперь разложение двухчастичного состояния с определенным импульсом в с. ц. м. по состояниям с определенным полным моментом количества движения. Необхо-
84
димо отметить, что Ха и Хь, подобно р, являются скалярными величинами, инвариантными относительно вращений. В силу этого одновременно с определенным значением импульса в с. ц. м. могут существовать состояния с полным моментом количества движения и его проекцией и спиральностями частиц а и Ь. Обозначим эти собственные состояния
Грьшка у (4-70).
Они удовлетворяют уравнениям
= J(J+ 1) q?jMKaу (4.71)
JztfpJMXa%b = -Мг|)рулаау (4-72)
Для фиксированных р, Ха и Хь эти состояния образуют полный набор состояний в с. ц. м. Таким образом, появляется возможность выразить с их помощью собственное состояние импульса. В связи с этим запишем
'PpecpVi CjMXaxb (0’ у) %bJM}.a>.b (4.73)
и постараемся определить коэффициенты разложения CjMiakb($, ф)-Сначала рассмотрим особый случай 0=ф = О. Опустив те характеристики, которые не меняются, получаем
^ооха%ь ~ SCjMy-j(0, 0)(4.74)
Применим к обеим частям равенства оператор U (Za) — ехр (— ю./г),
соответствующий повороту на угол а вокруг оси г. Используя
(4.68) и (4.72), получаем
¦ехр (— i (Ха — Xb) a) <P0oy.ft = 2Сш\а>.ь (0, 0) ехр (—i Ма) (4-75)
Так как это равенство должно выполняться для всех а, то делаем вывод, что
CjMXa%b (0, 0) = 0, если МфХа — 1Ь. (4.76)
Запишем
CjMhaxb (0, 0) = Cj8M, }.а-хь-
Коэффициент Cj определим из условий нормировки, в соответствии с которыми он должен быть равен
Cj = [(2У + 1)/4л]1/г. ' (4.77)
Таким образом, для 0=ф = О получаем
KooKaxb = ^CJ%j:t.a-4W (4J8)
В соответствии с уравнением (4.69) общее состояние в с. ц. м.
получается из левой части равенства (4.78) с помощью поворота
U(R(ф, 0, 0)). Опуская индексы р и ab, имеем
85
ФбфЯЛ. =U(R (Ф, е, °)) Фоох х. = IfijV (R (ф. 0> °)) Фулв-хйл ч
^ а о а о а о a b
и, следовательно,
(р0Ф/ / = 2 Cj 2 tyjMk к.^м.к —к (ф» (4.79)
^ a b j м & Ь ' а b
Здесь для определения собственной функции полного момента количества движения, возникающей в результате действия конечного поворота, мы воспользовались формулой (3.69).
Сравнивая (4.79) с (4.73), находим
CjMkakb(Q, ф) = CjS)JM:t,-xh (ф, 0, 0). (4.80)
Полученный результат определяет область значений / и М. Свойства 3)м'м (а, Р, у) требуют, чтобы / и М принимали целые или полуцелые значения тогда, когда разность Ха—Хь и соответственно разность Sa—Sb является целой или полуцелой. Кроме того, J не может быть меньше М или М'. Следовательно, в разложении J^\Xa—Яь|.
Уже показано, что
Фр0ф^Ч= 2 X С-^-ЧгЛ^Ф’ Q’ tytypj^ah’ ^4-81^
J> | \~h I M=-J
где
^ 9’ °) = exP iA1(p)
Уравнение (4.81) — ключ к формализму спиральности для двухчастичных состояний.
Если обе частицы а и b имеют нулевой спин, то Ха—Яь = 0 и с помощью тождества (3.87г)
3)мо (Ф, 0, 0) = [4л/(2? + 1 )]iUY'lm (0, Ф)
можно представить (4.81) в виде
Ч$ф = S Ylm (0- Ф) %Ььм- (4.82)
