Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
_и(\— и*)~'и 0 0 (1— u*)~'U
Преобразование (4.5) является преобразованием Лоренца (4.4) при условии, что
s2 = х'-х' = хх. (4.6)
Это налагает условие на матрицу A^v ¦ Подставляя (4.5) в (4.6), получаем
2 2 g»v (лйр х ) (Avc ха) = 2ха х . (4.7)
nv рст р ар 1 1
Сравнивая коэффициенты при (*i)2, х} Хг и т. д., получаем набор условий, которые можно компактно записать в виде
2gVv АцрЛгст = g . (4-8)
HV
Это и есть условия на Л для того, чтобы Л являлось преобразованием Лоренца. Уравнение (4.8) можно записать в матричных обозначениях. Пусть А представляет собой матрицу Ava ¦ Введем матрицу
66 ¦.
G = g,
HV
'10 0 0'
0—1 0 0
0 0—1 0
0 0 0 —1
Тогда (4.8) будет матричным элементом рст уравнения
Ат GA = G, (4-9)
где Ат означает матрицу, транспонированную матрице Л.
4.1.2. Группа Лоренца. Преобразования Лоренца между инер-циальными системами образуют группу, называемую группой Лоренца. Используем общий аргумент п. 2.2.2. Если 2, 2' и 2" — три системы отсчета, а означает преобразование, связывающее
координаты в системах 2 и 2', —соответствующее преобра-
зование для систем 2', и 2", то матрица преобразования, связывающая координаты в системах 2 и 2", имеет вид
= (4.10)
О
и называется произведением преобразований и Л$. Если системы отсчета 2 и 2' эквивалентны относительно физических законов и аналогично эквивалентны системы 2' и 2", то должны быть эквивалентны и системы 2 и 2", поэтому преобразование, связывающее их, является преобразованием Лоренца. Математически можно показать, что удовлетворяют условию (4.8) и, следовательно, преобразования Лоренца образуют группу.
Как отмечалось выше, обычные вращения пространственных координат в математическом смысле должны быть включены в группу Лоренца. Критерий преобразования Лоренца (4.8) допускает также включение более общих преобразований координат, соответствующих пространственной инверсии и обращению времени. В координатных обозначениях операция пространственной инверсии имеет вид
(4.11)
(4.12)
х0 -*¦ х0 — + х0; х1 ->¦ хх — — Xj]
^ Х<2_ -^2» ^3 —^ хз -Х3
и соответственно обращение времени
Хд j*" Xq Xq, X2 —> Xj + X]_t
X<i ^ X<^ %2* *3 ^ X3 — Xq.
Ясно, что оба эти преобразования оставляют инвариантной вели-чину (х0)2 — (х1)2 — (х2)2 — (х3)2.
Пока эти преобразования не нужны. Так как инвариантность ¦относительно этих преобразований и следствия из нее детально рассмотрены в гл. 5 и 6, их можно не рассматривать в настоящей главе.
3* 67
Рассматривая преобразование Лоренца между пространственными системами без вращения системы координат, мы говорим о чистом преобразовании Лоренца или бусте. Уравнение (4.1) есть уравнение буста.
4.1.3. Четырехмерные векторы. Дадим теперь определение понятия четырехмерного вектора. Оно полностью аналогично определению «обычного» трехмерного вектора [77]. Четырехмерный вектор, обозначаемый Vв системе 2 характеризуется четырьмя компонентами V0, Vu V2, V3, При переходе ко второй системе 2' его компоненты преобразуются точно так же, как координаты х щ т. е.
^ = (4.13)
V
Применяют также обозначение Vц =(1/о, V). Существуют величины и с более сложными трансформационными свойствами (тензоры), но мы пока обойдемся без них. Из (4.8) следует, что квадрат четырехмерного вектора V, определенного как
V.V=*V\-V\-Vl-V\, (4.14)
имеет одно и то же значение во всех системах Лоренца. Аналогично можно показать, что если V ^ и W ц—два четырехмерных вектора, то их произведение
V-W = V0W0 — — V2W2 — У3Г3 = V0W0 — V W (4.15)
также имеет одно и то же значение во всех системах Лоренца и называется скалярным произведением векторов Уц и W».
Ценность установления трансформационных свойств величины относительно преобразований Лоренца, т. е. определения того, является ли рассматриваемая величина скаляром, четырехмерным вектором или тензором, заключается в том, что в этом случае можно систематически в лоренц-инвариантном виде формулировать такие физические законы, как законы механики. Кроме того, алгебра четырехмерных векторов служит мощным вычислительным средством в релятивистской кинематике.
§4.2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
При своем движении классическая частица описывает мировую линию в пространстве — времени. Интервал ds между двумя бесконечно близкими точками на мировой линии связан с разностями координат формулой
