Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с обзора математического формализма преобразований .Лоренца и четырехмерных векторов, а затем рассмотрим лоренц-инвариантность в квантовой механике.
§ 4.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА И АЛГЕБРА ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ ВЕКТОРОВ
4.1.1. Уравнения для преобразований Лоренца. Вспомним формулы преобразования Лоренца, связывающие пространственную и временную координаты события, например столкновения двух точечных частиц, причем эти координаты измерены в двух инерци-альных системах отсчета, движущихся одна относительно другой равномерно и прямолинейно. Инерциальной называют такую систему отсчета, в которой выполняется закон инерции Галилея.
Если оси х, у, z и х', у', г' двух систем отсчета Е и S' соответственно параллельны и движутся одна относительно другой вдоль •оси 2 со скоростью и, то уравнения для преобразования Лоренца имеют вид
х' = я;
z’ +uty, (4Л)
f' = (l—и*)-1'1 (t + uz).
.Это преобразование обладает тем свойством, что квадратичная комбинация
s2 = t2 — х2 — у2—г* (4.2)
•6:4
принимает одно и то же значение как в штрихованной, так и в нештрихованной системе координат.
Если (tA, хА, У a, za) и (tB, хв, Ув, 2В) —пространственно-временные координаты двух событий, то
As = [{tB — tAf~ (хв — xAf — (ув— уА)2 —(zB—zAf]u (4.3)
называется интервалом между двумя событиями. Его значение в любой инерциальной системе отсчета одинаково. Величина, которая обладает одним и тем же значением в любой инерциальной системе отсчета, называется лоренцевьш скаляром. Уравнения (4.1) иногда называют стандартным преобразованием Лоренца. С помощью этого специального случая можно понять многие результаты релятивистской инвариантности. Однако для того, чтобы расширить область понимания, надо определить общее преобразование Лоренца, а затем дать понятие группы Лоренца. Чтобы дать компактное определение общего преобразования Лоренца, воспользуемся следующим утверждением для квадрата интервала:
Любое линейное преобразование величин t, х, у, г, оставляющее величину s2 инвариантной, является преобразованием Лоренца, связывающим две системы отсчета. (4.4)
То, что это утверждение разумно, видно из следующего. Если мы имеем две системы отсчета 2 и 2', причем относительная скорость движения одной системы относительно другой направлена произвольно, то уравнения для лоренц-преобразования, связывающего эти системы, имеют более общий вид по сравнению с (4.1). Не будем приводить эти уравнения, так как они громоздки и их можно найти в стандартных учебниках. Однако уравнения общего преобразования можно привести к виду (4.1) путем такого поворота двух систем отсчета, в результате которого их соответствующие пространственные оси становятся параллельными, а вектор v—направленным вдоль общей оси г. Из этого следует, что преобразования Лоренца и вращения надо рассматривать вместе.
Характеристическое свойство вращения системы координат заключается в том, что величина x2 + y2-\-z2 остается инвариантной, а временная координата при этом не изменяется (см. п. 3.4.2). Таким образом, вращения системы координат входят в класс преобразований, которые оставляют интервал инвариантным.
Введем более компактные обозначения. Положим ха =?, х\ = х, х2 = у, xs--=z н обозначим множество четырех координат (хо, Хи х2, .Хг) символом Хц. Здесь и далее греческие индексы пробегают значения от 0 до 3. Величину s2 теперь можно записать более компактно s2 = 2Suvx„^v , где символ guv , называемый метрическим
HV
тензором, принимает следующие значения:
= °> есЛИ ^ ^ v.
?00 = “Ь 1 > §п = §22 — §33 : : - 1 •
3 Зак. 1752
65
Следует иметь в виду, что существуют и другие системы обозначений индексов. Обычно используются мнимая координата времени X\ = \t и интервал cr=is, так что комбинация (4.2) заменяется' на а2 = х\ + х\ + х\ + х\ , все знаки которой уже положительны. Однако мы предпочитаем работать с чисто вещественными величинами.
Квадрат интервала между двумя событиями (4.3) в новых обозначениях принимает вид
As2 = 2 g„v (xBll - xAv) (xBv - xAv) = 2 g„v (xBlx xBv +
“I" ХАц XAv ^XB]i XAv) '
Вводя обозначения
XB ' XA ~ 2 Suv ХВц XAv •
HV
получаем
As2 = x% + x2a-2xb-xa.
Общее преобразование Лоренца (4.4) запишем в виде
< = 2Anv*v. (4-5>
V
Коэффициенты Anv образуют вещественную 4х4-матрицу, действующую на столбец xv . Таким образом, стандартное преобразование Лоренца (4.1) представляется матрицей
"(1— ы2Г'/е 0 0 u(l—ut)~l/r
О 10 0
0 0 10
