Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
(371)
---- JL . ЙР..7ТИ ^ *1
как уже получено выше. Далее,
(372)
Если Vq является непрерывно возрастающей функцией zq9 начинающейся от значения Fg = 0, среднее по каноническому ансамблю значение какой-либо функции одной лишь eq, или гч и модуля и внешних координат дается уравнением (275), тождественным с (357) во всем, кроме того, что з, о и <1> имеют индексы ( )д. Уравнение это можно преобразовать так, чтобы оно оказалось идентичным с (359), если не считать индексов. Если мы припишем те же индексы в уравнении (361), конечное значение обеих его сторон определит возможность канонического распределения.
Из этих данных легко вывести уравнения, подобные (360), (362)—(372), хотя при этом условия их справедливости должны быть формулированы иначе. Уравнение
требует только упомянутого уже условия для Vq. Это уравнение соответствует уравнению (362), которое не подвержено никакому ограничению в отношении значения п. Мы можем заметить, однако, что V всегда удовлетворяет условию, подобному тому, которое было упомянуто для Vq.
Если Vq удовлетворяет упомянутому условию и e*q—аналогичному условию, т. е. если е*9 является непрерывно возрастающей функцией начинающейся от значения е^ — О, уравнения будут подобны приведенным для случая, когда п>2, именно--уравнениям (360), (364) —(367). Особенно важно то^ что
условиям, мы получаем уравнение, подобное уравнению (ЗЬ9)У
1
118
ГЛ. IX. ФУНКЦИЯ ср И КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
dzV
которое было подчинено условию п > 4. И если -т—^ так же
a&q
удовлетворяет сходному условию, мы получаем уравнение, подобное (372), для которого условием было п > 6. Наконец, ^если Vq и его h последовательных производных удовлетворяют условиям упомянутого вида, мы получим уравнения, подобные (370) и (371), для которых условием было /г > 2Л.
Эти условия заменяют здесь приведенные выше условия, относящиеся к п. Действительно, Для справедливости уравнений (360), (363)— (372) вместо условий, относящихся к п, :мы могли бы дать условия, относящиеся к производным от F, подобные приведенным уже условиям, относящимся к производным от Vq. Это несколько расширило бы применение наших уравнений.
ГЛАВА X
О ТАК НАЗЫВАЕМОМ МИКРОКАНОНИЧЕСКОМ РАСПРЕ-ДЕЛЕНИИ НО ФАЗАМ, ПРИ КОТОРОМ ВСЕ СИСТЕМЫ ИМЕЮТ ОДИНАКОВУЮ ЭНЕРГИЮ
Важным случаем статистического равновесия является случай, в котором все системы ансамбля имеют одну и ту же энергию. Мы можем притти к понятию распределения, удовлетворяющего необходимым для этого условиям, следующим путем. Мы можем предположить, что ансамбль распределен; с равномерной фазовой плотностью между двумя граничными значениями энергии г' и г", причем плотность вне этих границ равна нулю. Согласно критерию, приведенному в главе IV, подобный ансамбль находится, очевидно, в статистическом^ равновесии, так как фазовая плотность может рассматриваться как функция энергии. Уменьшая разность между е' и s", мы можем уменьшить различие энергий в ансамбле. Продолжая этот процесс, мы получим в пределе перманентное распределение, в котором энергия постоянна.
Мы пришли бы к тому же результату, если бы мы приняли плотность за произвольную функцию энергии между границами s' и s" и равной нулю вне этих границ. Таким образом,, предельное распределение, получающееся из части канонического ансамбля между двумя границами энергии, при бесконечном уменьшении разности между граничными значениями последней не зависит от модуля, но вполне определяется энергией и тождественно с предельным распределением, получающимся, если исходить из равномерной плотности между границами энергии, приближающимися к одному и тому же предельному значению.
Мы назовем предельное распределение, к которому мы приходим этим способом, микроканоническим.
Мы найдем, однако, в некоторых случаях, что для опре-деленнных значений энергии, именно, для тех, при которых е* бесконечно, этот процесс не приводит к столь же отчетливому определению предельного распределения, как для других значений энергии. Затруднение обусловлено не способом, а при-
120 IV1- X. МНКРОКЛНОШ1ЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ IIO ФАЗАМ
родой самого случая, и вполне аналогично тому, с которым мы встречаемся, когда мы ищем канонический ансамбль в случаях, когда <!> обращается в бесконечность. Мы не рассматривали случаи такого рода, как истинные примеры канонического распределения, и точно так же не будем считать случаи, в которых е* бесконечно, истинными примерами микро-канонического распределения. В самом деле, в дальнейшем мы найдем, что в таких случаях наиболее важные наши формулы становятся иллюзорными.
Употребление формул, относящихся к каноническому ансамблю и содержащих, как в предыдущих главах, e^dz вместо dpi... dqny сводится к рассмотрению ансамбля, разделенного на бесконечно большое число микроканонических элементов.
