ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
ф = [а, а!, а, /Зг, фт
71
о;
а'
ш, ш, ш,
тг
, ш,
/3
Фт
а_ а'
Fm,n + Xl р <t>TFm,n+i
13'
. (4.9a)
n
В применении к линии передачи на рис. IV. 10с символы в уравнении (4.9а) имеют следующий смысл:
а = (3'=jcolAx, oi— (3 = jcocAx, m = jcoVlcAx, Zo = ф^ Zt = фт.
Число п на рисунке четное, и каждому отрезку длины Ах соответствует пара значений тп. Целому п, таким образом, соответствует линия длины х = = пАх/2. При очень малом m
Z0 =
R
m,n четн H- \/ ^ ZfFm^ нечетн
К
т,п нечетн Н- \/ ^ ZfFm^ чеХн
(4.96)
96
Глава IV
Подставляя сюда равенства (3.43е) и (3.43f) из главы III, получаем
о
^ j sin (тпАх/2) + cos (тпАх/2)
С cos (тпАх/2) + sin (тпАх/2)
j sin (шу/lcx) + -=}- cos (ujy/Tcx) , л „ ч
v ; Zc к 7 (4.9с)
с 7, 5
cos (coy/lcx) + j—^ sin (оол/Тсх)
/jr
yZc sin (иол/lcx) + Zt cos (coy/lcx)
Zq = Zc------------—------------------——.
Zc cos (uoylcx) + jZt sin (a; v lex)
Разумеется, реальные линии передач все же допускают некоторые потери. Медные проводники обладают ненулевым сопротивлением, а емкость между проводниками подвержена утечке. Можно показать, что в данном
случае чисто мнимую константу juoy/lc следует заменить комплексной константой 7 = а + jоил/lc, где действительная величина а есть функция от удельного сопротивления проводников и проводимости изолирующего материала между проводниками. Можно также показать, что
^ _ г /с | 9 fl
~ 2 Y I 2 V с’
где г — сопротивление проводника на единицу длины, a g — проводимость диэлектрика (размерность та же, что и «обычной» проводимости) на единицу длины.
В этом случае уравнение (4.9Ь) можно записать в следующем виде:
_ Zc sinh 7Ж + Zt cosh jx Zc cosh '<x + Zt sinh 'yx ’
С этим выражением хорошо знакомы «телеграфисты» (как их называли несколько десятилетий назад): оно позволяет предсказывать величину входного импеданса (короткой) несогласованной линии передачи.
Распространение волны по линии передачи
Вернемся к линии передачи без потерь, показанной на рис. IV. 10Ь, и, используя равенства (4.8) и (4.9а), вычислим отношение напряжений vax/vq,
Электрическая лестница
97
где Ах есть длина элементарного Т-образного звена. Использованный метод несколько неортодоксален и допускает некоторые вольности со строгим формализмом; тем не менее, для нашей цели он вполне подходит. Равенство (4.8) в этом случае принимает вид:
VA
х
— juolAx + julAx
Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное последнему, и отбросив бесконечно малые второго порядка, получим
4- — Ajcohf^Ax
Щг = —----------1-------= l-j(u)VIc)Ax. (4.10)
4-
С
Полагая, что пАх есть не что иное, как расстояние по абсциссе от точки х до начала координат, имеем
Vx = VnAx = vo(l - j(ujVIc)Ax)n; (4-11)
если при этом положить
lim (1 — j (со Vic) Ах) = e~j(UJVic)Ax ^
Дсс—>0
то получим
vx = Voe-j(uVIi)nAx = ще-jus/TcX' (4Л2)
Представив синусоидальное входное напряжение в виде вращающегося вектора2 vq = Veполучим следующее равенство:
v
X
= yeMt-v^s). (4.13)
Это важное утверждение означает, что вектор, представляющий напряжение в точке с координатой х по абсциссе, пульсирует с той же частотой / (или с той угловой частотой со = 27т/), что и входное напряжение, но отстает от этого напряжения на угол вх, пропорциональный расстоянию х. Соответствующий коэффициент пропорциональности (со Vic) называется постоянной распространения линии передачи при угловой частоте со.
2Отсюда, собственно, и термин угловая частота.
98
Глава IV
J
Рис. IV.lOd. Распространение волны по линии передачи.
Таким образом, поданный на вход линии сигнал распространяется по ней в виде волны, которая завершает «полный оборот» вокруг оси х в каждой точке, расстояние х до которой от начала координат кратно = А, где (coy/lc) А = 27г, т. е. А = 2тт/иол/lc. Величина А называется длиной волны.
Если линия передачи не является идеальной, т. е. допускает потери, постоянная распространения равна 7 = а + juy/lc, а волновое уравнение принимает вид vx = Vе-ах+з^^-\/Тсх) ^ свидехельсхвуя 0 том, что результирующая волна со временем экспоненциально убывает вдоль оси х, как
