Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
2) Вариационный принцип. С этим свойством связан вариационный принцип. Возьмем любую действительную функцию f(x) и разложим ее по собственным функциям:
Л*) = Е«Л(*). (5.3.187)
Далее, установим (/",/) = ^х/(х)2/р$(х) = 1. Тогда
(5.3.188)
-(/, ЗГЛ = Л
х
(/,/) = Т, ах ¦
х
Очевидно, —(/, У/) будет иметь минимум в нуле, только если существует значение X = 0, т. е.
а0Ф 0
ах = 0 для X Ф 0. (5.3.189)
Выберем теперь /(*), ортогональную Р0(х), так что а0 = 0; мы видим, что минимум (/", Sf) наблюдается, когда
ах, " 1
(5.3.190)
аа = 0 для всех остальных X,
где Xj есть следующее после наименьшего собственное значение. Это означает, что можно получить, минимизируя — (р, ^fp) (что
можно выразить в виде (5.3.185)), при условии что
218 Глава 5
Этот метод дает возможность численно определять значения собственных функций с использованием пробных решений и особенно полезен в бистабильных ситуациях. Он требует, однако, выполнения принципа детального равновесия.
3) Условная вероятность. Если требование полноты выполнено, условная вероятность может быть записана в виде
4) Автокорреляционная матрица. Если условие детального баланса выполняется, то для стационарной автокорреляционной матрицы [с использованием (5.3.172)] имеем
выведенному в разд. (5.3.46).
5) Матрица спектральных плотностей. Матрица спектральных плотностей имеет вид
Если какие-либо из значений X комплексны, то в силу действительности У(х) мы находим, что собственному значению X* отвечает собственная функция 1Рх(дг)]*, а i7x = 17* и [(/х]* = (/х.. Спектр в таком случае получается путем прибавления к (5.3.197) членов, комплексносопряженных тем, в которые входят комплексные собственные значения.
р(х, г |х0, 0) = 2 Px(x)Qx{x0)z 1' ¦
X
(5.3.192)
G(t) = <jt(/)jct(0)> = 2 ЧХе~1'[J dx х/^Сг)] [J dx хРл(х)]ге, (5.3.193)
R
R
что с очевидностью удовлетворяет условию
G(t) — eGr(t)e,
(5.3.194)
S(a)) = ~ f" e~ia,G(t)dt
= =MJ e~ia,G(t) dt + J eiwt G^i^dt .
О О
0 0
(5.3.195)
Если для удобства определить
Ux = j dx xPx(x),
(5.3.196)
R
TO
(5.3.197)
Уравнение Фоккера — Планка 219
В случае когда с = 1 и, следовательно, rjx = 1, матрица спектральных плотностей принимает более простой вид:
<5-з-198>
и, очевидно, является положительно определенной. Спектр для одной переменной q, полученной из х с помощью линейной комбинации типа
q = тх, (5.3.199)
дается выражением
Sg(co) = m'S(co)m = ^ ’ (5'3-200)
которое является строго убывающей функцией w.
В случае когда ? Ф 1, положительность спектра не очевидна, хотя из общих соображений (например, результата (3.7.19)), она должна бы следовать. Важное различие возникает вследствие того, что не все X теперь должны быть действительными, и поэтому в знаменателе могут возникать выражения вида
1/[Л5 + (ю - А,)2], (5.3.201)
благодаря которым в спектре возможны пики вдали от ш = 0.
5.4. ВРЕМЯ ПЕРВОГО ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ (ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ)
Здесь мы хотим рассмотреть многомерный аналог задачи о времени выхода за пределы интервала (разд. 5.2.7). Как и прежде, мы ограничиваемся однородными процессами.
Суть задачи состоит в том, чтобы рассчитать, в какой самый ранний момент времени частица, находящаяся внутри области R с границей S, покинет эту область.
Как и в одномерном случае, рассмотрим обратное уравнение Фоккера — Планка с поглощающей границей S:
p(x',t |х,0) = 0 (xg5). (5.4.1)
Вероятность того, что частица, находившаяся в начальный момент в точке х, находится к моменту t все еще внутри R, равна
G(x, t) = J dx’p(x\ 11*, 0),
R
(5.4.2)
220 Глава 5
и если обозначить через Т момент, когда частица покидает R, то РгоЬ(Г > 0 = G(x, t). (5.4.3)
Поскольку процесс однородный, функция G(x, t) подчиняется обратному уравнению Фоккера — Планка
d,G(x, О = ? А,(х)дМх, 0 + 2 S Ви(х)д^С(х, 0 . (5.4.4)
‘ i,J
Начальные условия для (5.4.4) следуют из а) р{х', 01 х, 0) = 5(х — х') (5.4.5)
