Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
где диссипация присутствует в явном виде.
5.3.7. МЕТОДЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Будем продвигаться так же, как в разд. 5.2.5. Мы заранее предполагаем существование полного набора собственных функций Рх(х) для прямого и для обратного уравнения Фоккера — Планка. Таким
образом,
Э,И((х)Рд(х)] + ? ? Э,ЭЛ5,7(х)Рд(х)] = -АРд(х) (5.3.167)
» i,j
? A,(x)d,QAx) + i ? 5,7(х)ЭД2л,(х) = -a'Qx,(x) . (5.3.168)
Независимо от того, удовлетворяют ли ??х(х) и Рх(х) поглощающим или отражающим граничным условиям, можно показать, вполне аналогично тому, как это было сделано в разд. 5.2.4, что
-(Я - Я') J dx P,(x)Q,,(x) = 0 , (5.3.169)
R
так что Рх(х) и Qy(x) образуют взаимноортогональную систему. Функциональная зависимость между Рх и Qy существует, однако, лишь в том случае, когда выполнено условие детального баланса, причем е(¦ — 1. Для дискретного спектра собственных значений X мы полагаем
J dx Px(x)Qx(x') = Su, . (5.3.170)
Для непрерывного спектра, за исключением того случая, когда мы имеем дело с отражающими граничными условиями, символ Кронеке-ра 5ХХ, заменяем на 5(Х — X'); ^ = 0 стационарно. Тогда нормировка
Уравнение Фоккера — Планка 215
ps{x) дает
| dx P0(x)Q0(x) = j dx P0(x) = 1,
(5.3.171)
и в спектре появляется дискретная точка с нулевым собственным значением.
Если условие детального баланса выполнено, то, как мы уже отмечали в разд. 5.3.5(3), р(ех, —t)/ps(x) есть решение обратного уравнения Фоккера — Планка, так что на основании единственности решения можно утверждать, что
Здесь лх = ± 1 с точностью до знака, поскольку, если X = X',
(5.3.170) можно записать в виде
Значение пх нельзя определить априорно, но при надлежащей нормировке оно будет равно плюс или минус единице. Если, к примеру, все ?, = — 1, а Р\(х) является нечетной функцией, то, очевидно, пк = — 1.
1) Все переменные четные: отрицательные собственные значения. Если все ?(. = 1, можно записать
и значение лх можно всегда сделать равным единице.
Таким образом, разложения по собственным функциям будут во многом такими же, как и для случая одной переменной.
Полноту системы собственных функций необходимо всякий раз доказывать особо. Если все ?, = 1, то можно показать, что оператор Фоккера — Планка является самосопряженным и отрицательно полу-определенным в некотором гильбертовом пространстве.
Для большей ясности запишем прямой оператор Фоккера — Планка в виде
Тогда тот факт, что, если все ?( = 1, решение прямого УФП может быть преобразовано в решение обратного УФП путем деления на
Qx(x) = r;xPx(Ex)/ps(x).
(5.3.172)
(5.3.173)
Qk(x) = Р1(х)!рь(х)
(5.3.174)
&(*) = -Е ЗМх) + ? Е д#,Ви(х) ,
(5.3.175)
а обратный — в виде
2?*(х) = 2 A,(x)dt + 2 ? Я,,(*)Э,Э,.
(5.3.176)
216 Глава 5
ps(x), следует из того, что для всякой/(дг) -^(*)1/(*)а(*)] = pjx)s^*(x)lf<x)].
(5.3.177)
Определим гильбертово пространство функций /(дг), g(х). . . через скалярное произведение
r РАх)
Тогда из (5.3.177) получим
{f,3?g)=\dx&? 2?{х)
R Ps\X)
= J dx f(x)5?*(x)
g(x)
Ps(x)
gixy
Ps(x)_
Ps(x)
(5.3.178)
(5.3.179)
(5.3.180)
и далее, интегрируя по частям и избавляясь от поверхностных членов путем использования отражающих или поглощающих граничных условий,
(5.3.179) = \dxf?' 2?(x)[f(x)\.
R РАХ)
Таким образом, в данном гильбертовом пространстве
(/ STg) = (g, S?f).
(5.3.181)
(5.3.185)
Это условие уже гарантирует действительность собственных значений У\дг). Чтобы доказать отрицательную полуопределейность, заметим, что в случае всех четных переменных (см. (5.3.75)),
А,(х) = ? dJ[Bij(x)ps(x)]/2pXx))
j
так что для всякой р(х)
3?(х)р{х) = S э, [- + ^J[Bij(x)P(x)}
= у 2 9,- {BiJ(x)Ps(x)dj[P(x);Ps(x)]}.
^ i.j
Отсюда
(р, З’р) -= у J dx p(x)iPs(x) ? д, {Btj(x)p,(x)dj[p(x)lp,(x)]}
(5.3.183)
(5.3.184)
Уравнение Фоккера — Планка 217
и, интегрируя по частям (отбрасывая поверхностные члены),
(р, 5?р) = - J dx Bij{x)pJ,x)dt[p{x)lps{x)]dJ[p{x)lps{x)] (5.3.185)
<0,
поскольку Ву(х) положительно полуопределена.
Итак, мы заключаем, что для всякой собственной функции Рх(х) значение X действительно и
Я>0 (5.3.186)
(напомним, что собственным значением является —X).
