Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Введение 27
полагается равным нулю. Условие, что величина X крайне нерегулярна и что х и X независимы между собой (это не упоминается, но подразумевается Ланжевеном), т. е. флуктуации величины х как функции времени не связаны с флуктуациями величины X (так чтобы они происходили в одну сторону и среднее произведение этих величин было отлично от нуля), — эти условия действительно эквивалентны предположению Эйнштейна о независимости. Метод уравнений Ланжевена, очевидно, гораздо более прямой, по крайней мере на первый взгляд, и дает весьма естественную возможность обобщить динамическое уравнение до вероятностного. Однако адекватной математической базы для подхода Ланжевена не существовало, пока 40 лет спустя Ито не сформулировал свою концепцию стохастических дифференциальных уравнений. В его формулировке точное требование независимости х и X привело к исчислению стохастических дифференциалов, которое теперь носит имя Ито.
Как предмет изучения физики, броуновское движение было в центре внимания в первые два десятилетия нашего века, когда прежде всего Смолуховский, а также многие другие ученые широким фронтом вели теоретические и экспериментальные исследования, показавшие полное согласие с первоначальной формулировкой вопроса, предложенной самим Смолуховским и Эйнштейном [1.5]. Позднее, с развитием лазерной спектроскопии, броуновское движение стало гораздо более доступным для количественных измерений: пучком когерентного лазерного излучения освещают малый объем жидкости, содержащий броуновские частицы, и изучают флуктуации интенсивности рассеянного света, которые прямо связаны с движением броуновских частиц. Так можно наблюдать броуновское движение гораздо более мелких частиц, чем традиционная пыльца, и получать полезные данные о размерах вирусов и макромолекул. Изучение более концентрированных суспензий, когда возникает взаимодействие между частицами, позволяет ставить интересные и довольно сложные задачи, относящиеся к суспензиям и коллоидным растворам макромолекул [1.6].
Общая теория флуктуаций, описываемая приведенными выше уравнениями, широко развивалась применительно к разнообразным ситуациям. Преимущества непрерывного описания оказались значительны, поскольку для него требуется знать лишь немногие параметры, главым образом коэффициенты при производных в (1.2.7):
| Аф{Д)с1А, and | Агф{А)йА . (1.2.20)
Трудно найти проблему, которую нельзя было бы (по крайней мере с какой-то степенью приближения) представить в указанном виде. Для
28 Глава 1
простого качественного анализа вопросов обычно вполне достаточно рассмотреть в пространстве с нужным числом измерений подходящее уравнение Фоккера — Планка, допустив в нем возможность зависимости обоих коэффициентов (1.2.20) от х.
1.3. ПРОЦЕССЫ РОЖДЕНИЯ — ГИБЕЛИ
Широкий круг явлений можно моделировать специальным классом процессов, называемых процессами рождения — гибели. Название, очевидно, происходит из рассмотрения популяций людей или животных, в которых отдельные индивидуумы рождаются и умирают. Наиболее известна модель системы хищник — жертва, состоящей из животных двух видов, причем одни из них охотятся за другими, которые обеспечены неистощимыми пищевыми ресурсами. Введя обозначения X — жертва, У — хищник, А — пища жертв, запишем возможные процессы:
Они имеют следующую наивную, но привлекательную интерпретацию. Первое соотношение означает, что жертва, которая съедает единицу пищи, немедленно репродуцируется. Второе соотношение описывает поглощение хищником жертвы (единственная рассматриваемая возможность гибели жертв) и мгновенное репродуцирование хищника. Последнее соотношение символизирует естественную смерть хищника. Легко найт и модельные дифференциальные уравнения для х и у, представляющих численности особей X и У. Так, например, на основе первой формулы можно принять, что скорость рождения особей X пропорциональна произведению х и количества пищи; на основе второй, что скорость увеличения численности особей У и равная ей скорость поглощения жертв X пропорциональны ху, а из последнего соотношения можно заключить, что скорость гибели особей У просто пропорциональна .у. Таким образом, мы могли бы написать следующие уравнения:
X + А — 2Х Х+ У — 2У У— в.
(1.3.1а)
(1.3.16)
(1.3.1b)
(1.3.2а)
-jt = к2ху - кгу
(1.3.26)
Введение 29
Методы решения этих уравнений предложили Лотка [1.7] и Вольтерра [1.8]. Решения имеют весьма интересные осциллирующие зависимости, показанные на рис. 1.3,а. Качественно эти осцилляции легко понять. Когда хищников немного, популяция жертв быстро растет. Изобилие жертв приводит к быстрому размножению хищников, а значит, и к одновременному сокращению популяции жертв. При истреблении
100 150
