Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы снова рассмотрим модель из разд. 5.2.7, в которой плотность вероятностей положения частицы подчиняется уравнению Фоккера — Планка
д'Р(х, t) = dx[U’(x)p(x, О] + Ddlp(x, t)
(9.1.1)
Вид потенциала U (х) показан на рис. 9.1. Потенциал имеет два минимума (один из них локальный) и между ними локальный максимум. Стационарное распределение вероятностей имеет вид
ра{х) = ^Гехр[— U(x)/D]. (9.1.2)
Оно-то и демонстрирует бистабильность. Точкам а, с и b на рис. 9.1 отвечают соответственно два максимума и центральный минимум. Нахождение системы в точках а и с является, таким образом, наиболее вероятным.
9.!.!. ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ В СЛУЧАЕ D = О
В этом случае x{t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
х(0) = х0. (9.1.3)
Поскольку
-^Г = и'Ыя=-тх)]г<0’
х ([) меняется таким образом, чтобы минимизировать потенциал U(к), и перестает меняться, когда U' (х) обращается в нуль. Таким образом,
416 Глава 9
частица заканчивает свое движение в точках с или а в зависимости от того, больше ли х0, чем Ь, или меньше. Это показано с помощью стрелок на рисунке.
Как только частица попадает в точку а или с, она остается в этой точке. Если в начальный момент частица находилась в точке Ь, она также остается в ней, хотя малейшее возмущение переводит частицу в точки а или с. Таким образом, точка b является неустойчивой стационарной точкой, а точки а и с — устойчивыми стационарными точками.
9.1.2. ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ПРИ ОЧЕНЬ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ D
С добавлением шума ситуация меняется. Стационарное состояние можно аппроксимировать асимптотически следующим образом. Считая потенциал U(х) всюду достаточно гладким, мы можем записать
U(x) ~ U{а) + \V'\a) (х — а)2 при малых \х - а\ (9 14)
~ U(с) + \U"(c) (х — с)2 при малых \х - cl
Если величина D очень мала, мы аппроксимируем р (v) выражением рХх) ~ Ж ехр [—U(a)jD — %U"(a) (х — a)2jD] при малых \х — а\
~ ^ехр [— U(c)/D — \U"(c) (х — с)2ID] при малых \х - сI (9.1.5)
~ 0 в остальной области,
так что
ЛГ~ 1 = e-v(aHD ^2пDjU"(a) + e~u(c,fD zD/U"(c). (9.1.6)
Будем считать в соответствии с рисунком
U(a) > U(c). (9.1.7)
Тогда для достаточно малых значений D в выражении для ,/V~1 можно оставить только второй член, так как он значительно больше первого. Подставляя это выражение в (9.1.5), находим
Р*(х) = JехР t~i^"(c) (х - с)2ID] | х - с | ~V~D
V 2nD (9.1.8)
= 0 в противном случае.
Это означает, что в пределе очень малых значений D детерминированное состояние, в котором потенциал U(х) имеет абсолютный минимум, является наиболее устойчивым в том смысле, что плотность стационарного распределения вероятностей ps(x) заметно отлична от нуля только в непосредственной близости от этого состояния.
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 417
Конечно, этот результат не согласуется с предыдущим утверждением, что оба состояния одинаково устойчивы. Различие состояний обусловлено временным поведением системы, и мы покажем, что детерминированное поведение воспроизводится стохастически, если в начальный момент времени частица находится в точке с координатой х0, и рассматривается предел р(х, /) при D — 0 в случае конечных /. Методы разд. 6.3 показывают, что это утверждение справедливо, коль скоро применимо разложение вблизи детерминистического уравнения. Из равенства (6.3.10) следует, что последнее условие выполняется, если производная U' (л"0) не равна нулю или, в случае любых конечных значений D, U' (л"0) имеет порядок D0. (Здесь D заменяет е2 из разд. 6.3.) Для этого требуется, чтобы точка х0 находилась вне окрестности шириной порядка Dl/1 точек а, с или Ь. Это означает, что в точках а и с флуктуации несущественны, и движение частицы приближенно описывается стохастическим дифференциальным уравнением, линеаризованным вблизи точки а или с. Вблизи точки b решение линеаризованного стохастического дифференциального уравнения неустойчиво. Движение частицы описывается процессом Орнштейна — Уленбека до тех пор, пока она не покинет непосредственной окрестности точки х = Ь. На этой стадии асимптотическое разложение по параметру Ф перестает быть справедливым.
Однако при t — оо асимптотическое разложение более не применимо. Другими словами, предел при t — оо теории возмущений по параметру малости шума не воспроизводит предела D — 0 для стационарного распределения.
При этом может происходить процесс перехода через центральный барьер. Шум dW(t) может заставить частицу взобраться на барьер в точке b и упасть, затем с другой его стороны. На это требуется время порядка ехр( —const/D), которое не дает вклада в разложение по степеням D, поскольку оно экспоненциально мало по сравнению с любыми степенями D при D — 0.
9.1.3. ВРЕМЯ ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ
