Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для средних значений имеем уравнение
d.iXtiO) = X r{/'k)[(t%(x) - /,*(*)>] = X (Sij + Sik) djk(xj) ,
j, к J, к
ИЛИ
d,(x,{t)y = 2 (dj, - SJt X dJk)(Xj{t)y (8.2.7)
j к
= E DJt(x,{ty> . (8.2.8)
8.2.2. УПРАВЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ В КОНТИНУАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Будем считать, что центр /-й ячейки находится в точке г;, и сделаем замену
Xi(t) = Pp(ri,t). (8.2.9)
Предположим, что dy - d, если ячейки с номерами i и j соседние; в противном случае d,j — 0. Тогда в пределе / — 0 уравнение (8.2.8) принимает вид
д'(р{г, ф = Dv\p{r, ф (8.2.10)
при D = l2d. (8.2.11)
Таким образом, мы снова получили диффузионное уравнение. Вскоре мы обобщим этот результат.
Пространственно-распределенные системы 375
а) Уравнение Крамерса — Мойала, или разложение по малому параметру, обратному размеру системы
Нам нужен параметр, который бы подходящим образом определял масштаб как числа молекул, так и вероятностей перехода. При возрастании числа молекул возможны два предела:
1) предел больших ячеек: I — оо при фиксированной концентрации;
2) предел высоких концентраций при фиксированном размере ячей-
ки.
В случае чистой диффузии оба предела приводят к одинаковым результатам. Для любого из них
/?,(*) — оо (8.2.12)
и можно применить разложение по обратному размеру системы. В низшем порядке это разложение будет эквивалентно разложению Крамерса— Мойала. Из (7.5.31, 32) мы находим
А,(х) = — 2 Dj,Xj (8.2.13)
J
В1т(х) = 3,т 2 (D,jX, + Dj,Xj) — Dlmx, — Dmlxm , (8.2.14)
J
где
Dji = dji Sji 2 dtk . (8.2.15)
к
Таким образом, в этом пределе Р (х, t) подчиняется уравнению Фоккера — Планка
д,Р=-Е dtA,(x)P + i 2 д,дтЬ1т{х)Р . (8.2.16)
/ I, т
б) Континуальная форма разложения Крамерса — Мойала Связывая точку г с i-й ячейкой и производя замены
— \d3r (8.2.17)
(
?>у - ?>(/•', г) = 9 (г', г -г’) (8.2.18)
l~3StJ — 8(г — г'), (8.2.19)
мы переходим к континуальной форме записи. На этом этапе мы не
делаем никаких конкретных предположений о симметрии матрицы Djj, а также других предположений. Таким образом, мы включаем в рассмотрение и случай анизотропной неоднородной диффузии. Однако само содержание понятия «диффузия» приводит к ряду требований.
376 Глава 8
1) Диффузия наблюдается только при наличии градиента концентрации. Это означает, что стационарное состояние соответствует постоянной концентрации, и из (8.2.13) вытекает равенство
S^, = 0. (8.2.20)
j
Отсюда в силу (8.2.15) находим
Е dji = Е d,j. (8.2.21)
j j
Заметим, что эти формулы следуют также из условия детального баланса (8.2.6).
2) Диффузия не меняет полного количества вещества в системе, т. е.
? Е х, = 0 , (8.2.22)
причем это равенство должно выполняться при любых значениях xt. В силу уравнения для средних значений это приводит к требованию
Е D,J = 0 , (8.2.23)
что также следует из (8.2.15).
3) В континуальной форме записи равенство (8.2.20) означает, что для любых г
j d35 &{r + S, -S) = 0. (8.2.24)
Аналогично из (8.2.23) имеем
\d4&{r,5) = 0. (8.2.25)
4) Если выполняется условие детального баланса, то равенство
(8.2.24) заменяется соотношением
Dtj = D]t , (8.2.26)
получаемым подстановкой равенства (8.2.6) в определение величины D. В континуальной форме записи это дает нам соотношение
Щг + д, -6) = Щг, д).. (8.2.27)
Вывод уравнения Ланжевена в континуальной форме можно провести по аналогии с разложением Крамерса — Мойала.
Пространственно-распределенные системы 377
Определим условные моменты:
M(r) = J d35 8 У (г. S) (8.2.28)
D{r) = \\d38 S3 У (г. S) (8,2.29)
и будем считать, что высшие условные моменты исчезают в некотором подходящем пределе, подобном тем пределам, что использова-
