Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
и, полагая у = х2/у в обычной процедуре адиабатического исключения, получаем
Хотя в детерминистическом смысле процедура вполне проста, нельзя с уверенностью утверждать, что стохастическое управляющее уравнение в виде, использованном в разд. 7.1.3, имеет силу в пределе адиабатического исключения. Приспособить методы адиабатического исключения, использованные в гл. 6, к управляющему уравнению не так легко, однако они могут быть прямо применены к УФП в представлении Пуассона.
а) Уравнение Фоккера — Планка для тримолекулярной реакции
Для того чтобы реакция (7.7.110), в которой прямая и обратная константы скорости равны 1/7, соответствовала (7.7.113), УФП в представлении Пуассона должно быть преобразовано из (7.7.4) к виду
и содержит производные третьего порядка. Какой бы вид представления Пуассона мы ни выбрали, не существует истинно вероятностной интерпретации на языке какого-либо действительного стохастического процесса в «-пространстве. В следующем разделе мы введем понятие шума третьего порядка и покажем, каким образом можно по-прежнему использовать вероятностные методы и стохастические дифференциальные уравнения.
6) Адиабатическое исключение
С учетом правил, выработанных в (7.7.9), уравнение Фоккера — Планка для системы (7.7.111) с заменой
— = ау - ху + 2(уу - х1)
(7.7.112)
ft = (ахг - х3)/у .
(7.7.113)
il _ ^1' да2 да3,
(7.7.114)
х а
4—>
.у. 3.
360 Глава 7
имеет вид
fa~ -I»' +™~ "'Я + k» - о1»
+ дад[1^а ~ '
(7.7.115)
Далее адиабатическое исключение осуществляется так же, как в разд. 6.6.1. Определим новые переменные
а2 ,
х — ос
У = У Р и тогда после замены 3
з/? у ду
2х
ду
(7.7.116)
(7.7.117)
УФП принимает вид д/(х, у)
dt
(ё-1)
(а - х)(у + х2)
У
2У
, 3
(7.7.118) /•
+ (I “ Ё 2х^у) У+[Гх~ 2%) Ш^ + *2)(а - ^
Поскольку нам необходимо исключить у, должен существовать хорошо определенный предел оператора L,, который управляет движением при фиксированном л:. Этот оператор имеет вил
y§yy + iy2 Хх1у ~~lxi<y + *2)(а ~х^7119) и в пределе больших у мы приходим к детерминированному движению. При
у = уу~112 (7.7.120)
формула (7.7.119) переходит в
уЦ(у) = у
^ v + [2х3(х — а) + (4л:2 — 2x)vy 1/2]
^у-г~\2хЦх -а)]
= уЦ
(7.7.121)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 361
Используя это выражение, мы определяем
y~lL3 = -У~'^ [х\а ~ *)] , (7.7.122)
ш " -»*• - x)vr~"‘ +~ i2xiv- 2*11'
+ У~Ш§?.iv + У'П§-х^а ~ х^х2 + vV~Xn)\ (7.7.123)
J? = [Г^з + U?) + ^.(7)]/. (7.7.124)
Оператор Р осуществляет проекцию на нуль-пространство L{, а поскольку Z.J зависит от л:, мы имеем
Ь3РФРЬ3. (7.7.125)
Это значит, что уравнение движения для Pf = g находится с помощью тех же вычислений, какие использовались в разд. 6.5.4. Находим
sg(s) = y~'PL3g(s) + P[L2(y) + y~43][s - yh-O-PlL^-y-'O ~ P)L3]~: x [L2(y) + Г 41 - P)L3]g(s) + g(0). (7.7.126)
Заметим, однако, что, поскольку для всякой функции от v Рф(у) = рх(у) I dv Ф(у) , (7.7.127)
где px(v) удовлетворяет
LlPx(v) = 0, (7.7.128)
все члены в PL2(y), содержащие d/dv, обращаются в нуль. Таким образом, до высшего порядка по у,
РЬ2(у) = (- 2v-A + v|lj. (7.7.129)
Множитель [ ]-1 в (7.7.126) имеет асимптотику — и единст-
венный член в оставшейся квадратной скобке, который может сделать все выражение равным по порядку величины у~\ как член с Lv это член порядка 71/2 в L2(y), т. е.
362 Глаоа
Таким образом, в пределе больших у (7.7.126) принимает вид
¦*?(•*) = Г
-2
д_
дх дх2
з
дх
{а - х)х* d~V
Px(v)p
+ g(0) , (7.7.131)
где мы записали
g = Px(v)p, g = px(v)p . (7.7.132)
Теперь мы подошли к центральной проблеме: определению интеграла
J dv'v'Li' ~(а - x)x2~pt(v') ,
dv'
(7.7.133)
который возникает при вычислении второго члена в фигурных скобках в (7.7.131). Было бы желательно вынести д/дх из-под интеграла, но, поскольку д/дх и1, не коммутируют, эта операция требует осторожности. Итак,
