Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
(7.5.7)
----------------------С а.
2 (вп + <з п)
(7.5.8)
п
В качестве входной плотности для ансамбля кодов выберем
где <§п будут выбраны ниже, но так, чтобы они удовлетворяли соотношению
= (7.5.10)
Так же как и в § 7.3, Ф(х) =
0, в других случаях
(7.5.11)
и р. выбрано так, чтобы интеграл от qN (х) был равен 1. Используя теорему 5.6.1 в интегральной форме, находим, что вероятность ошибки по ансамблю кодов с М кодовыми словами удовлетворяет неравенству
1+р
dy. (7.5.12)
Ре,т<(М — l)pj ...j П ...J qN (х) pN (у I х)1 /<1 + р> dx
для любых р, 0 неравенством
U1 UN L*i xN
^ р 1. Ограничивая сверху <р (х) для любого s ^0
ф (х) < ехр js6 + s 2 (А ~ $«)j.
(7.5.13)
оценку (7.5.12) можно упростить и привести к виду
1+р
(М ¦— 1)Рехр
N
2 E0(p,Xn,Yn,s)
Е0 (Р, Хп,
п, Yn, s) -= - In j j j —A_
г у
n= 1
: exP
(7.5.14)
-s(x2 — gn)
X
X
У 2яо2
exp
(.y—xf'¦
2a n
i/(i + P) I'+P
dx\ dy.
(7.5.15)
Выражение в (7.5.15) совпадает с интегралом, который вычислен в (7.4.2) так, что
Е0 (р, Хп, Yп, s) — s (1 + р) Шп +
+ Vlln(l-2s^n)+ -fin (1-28^+—^.). (7.5.16)
2 V (1фр)сг« )
Как и в (7.3.21) для любого R ^ 0, теперь можно установить существование кода с М — \ кодовыми словами, каждое из ко-
торых удовлетворяет неравенству
Р <
1 е, т
' 2е5в ' 2
L И ехр
рЯ— 2 E0(p,Xn,Yn, s)
п=1
(7.5.17)
Максимизируем теперь экспоненту в (7.5.17) по Os^p ^ 1, s ^ 0, с помощью той же самой процедуры, которая использовалась для одного канала с аддитивным гауссовым шумом. Имеется дополнительная задача максимизации по энергии отдельных входов при ограничениях
%п>0. 2вп=--&
304
Положим
An = iSn/o%, (7.5.18)
Pn — 1 — 2s§’71 + Anl(\ + p). (7.5.19)
Тогда E0 (p, Xn, Yn, s) в (7.5.16) можно заменить выражением
Ео (Ап, pn. Р)
(1 - р„) (1 + р) + Ап + In ( Рп-~^) + Р In Рп ]•
Нужно максимизировать Е = —pi? 4
N
Ео Ип. Рп. р)
(7.5.20)
(7.5.21)
по Ап, рп и р. На величины Ап наложены ограничения Ап ^ 0, 2Апо% = Щ. Так как Е — выпуклая ^ по Ап функция, то необходимое и достаточное условие максимума Е по Ап состоит в том, чтобы для некоторого К и всех п
дЕ
дАп
1
Рп (1 4 Р) —Ап
'Ml
(7.5.22)
с равенством, когда Ап > 0. Временно не будем рассматривать связь между р„, накладываемую равенствами (7.5.19), а в дальнейшем покажем, что полученное решение будет удовлетворять (7.5.19) при некотором s ^ 0. Таким образом, так же как и в (7.4.26) и (7.4.28), имеем
дЕ _ ¦Эр я”
Рп =
-(1
1
Ь Р) +
Ап
(14 Р)
14р
Pn (14 P)—Ап Рп
1 + 1/ 1
0,
Z1
4Ап р
(1 4p4Ai)2
(7.5.23)
(7.5.24)
Сочетая (7.5.22) и (7.5.23), получаем
----------- <
2(14 Р)Рп
Если ввести величину В, равную р/[2 (1 + вид
(7.5.25)
р)М, то (7.5.25) принимает
Рпо%^В с равенством, если Ап> 0.
(7.5.26)
Далее из (7.5.24) видно, что если Ап = 0, то Р„ = 1. Следовательно, если А„ = 0, то (7.5.26) означает, что ^ В. Кроме того, из
(7.5.23) видно,что дЕ1дрп убывает по р„ и возрастает по Ап. Таким образом, решение для р„ в (7.5.24) является возрастающей функцией Ап, и pn > 1 для Ап > 0. Поскольку (7.5.26) удовлетворяется с равенством для Ап > 0, то это означает, что сг? < В, если Ап > 0. Другими словами, по всем каналам с дисперсией шума, меньшей чем В, посылаются сигналы с положительной энергией, а все каналы с дисперсией шума, превосходящей В, не используются (т. е. их входы всегда
равны 0). Для каналов, удовлетворяющих условию о? < В, значения А„ с помощью (7.5.23) можно выразить через р„ и получить
(1+Р)2(Рп~1)Рп (1 + P)p„-P
А--
Так как (3„ = В/ст^ и Ап =^ <on/al, то это равенство можно записать в виде
К<В.
(7.5.27)
