Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Er(R)
4Р
(р+1)-(Р_1) у
1
4Р
Л(Р-1)
+
, 1 , \о Л(Р-1)
н----In р-------------
2 2
V'
4р
Лф-1)
1
(7.4.33)
где согласно (7.4.30), р = e2R.
Равенство (7.4.33) справедливо для 0 ^ р ^ 1. Взяв значения р из (7.4.28) для р = 0 и р = 1 и подставляя их в (7.4.30), находим, что (7.4.33) справедливо для
V, In
—+ — + — 2 4 2
I '
Vain (1+Л). (7.4.34)
Для R, меньших чем левая часть (7.4.34), следует выбрать р — 1, что дает
?Г(Я)= 1 — Р+ -?- + -i-In (7.4.35)
где
Р
А
1 + т+
1 +¦
(7.4.36)
Экспонента случайного кодирования Ет (R) для некоторых значений Л изображена на рис. 7.4.1.
358
Следует еще рассмотреть коэффициент [2esS/[,i]2 в (7.3.45). Решая уравнение (7.4.23) относительно s, получаем
2s% = 1 — р + А!(\ + р). (7.4.37)
Умножая числитель и знаменатель правой части на р и сравнивая с (7.4.27), получаем полезное в дальнейшем выражение для s
р А
2s% =
(1 + Р)2Р
Из (7.4.29) имеем для больших N
V--
У 2nN а/
Рис. 7.4.1. Er{R) и Eex(R) для дискретного по времени канала с аддитивным гауссовым шумом при различных отношениях сигнал/шум А.
При использовании этого приближения для р. величина es6/p-l достигает минимума при б = 1/s, давая
-^-1 «2^е1/4яА^== (7.4.40)
И J (1 + р)2Р
Для того чтобы получить точное выражение для р., заметим, что р, равно вероятности, с которой случайная величина с распределением '%2 с N степенями свободы принимает значение из интервала между ее средним и числом на б/g’ меньше этого среднего. Таким образом, |х может быть найдено из таблиц распределения %2.
В случае границы случайного кодирования для процедуры с выбрасыванием подставим (7.4.18) и (7.4.20) в (7.3.44). Интегрируя, по-
лучаем
Ех (р, X, У, s) = 2рs$ + JL In ( 1 - 2s« + JU +
2 V 2pa2J
+ -?- In (1 — 2s8). (7.4.41)
359
После подстановок А = &1а2 и
р = 1 — 2sS-
равенство (7.4.41) принимает вид
А_
2р
ЕХ(А, р, р) = (1_р)Р+ —+ -В- ,П[Р (Р-
_А_
2р /'J
(7.4.42)
(7.4.43)
где р ограничено интервалом А! (2р) < р <; 1 + А/(2р). Взяв дЕх/дР, находим, что максимум по р существует и достигается при
Р2
р (1 + о
1 V 2р ) 4р
или
р
| /1 + JL.
2 4р 2 у 4ра
Равенство (7.4.44) может быть переписано в виде
Л(2р-1)
4Р (Р— 1)
(7.4.44)
(7.4.45)
(7.4.46)
Далее, ЁХ(А, р, р) — рR' имеет максимум по р, который достигается при
R’= 1-
1
2 (2рР —А)
Р Р
2р
(7.4.47)
Для Р и р, которые удовлетворяют обоим равенствам (7.4.44) и (7.4.47), можно подставить (7.4.46) вместо р в третье слагаемое правой части (7.4.47) и получить
P'=V2ln[p(p-^)j, (7.4.48)
Eex{R') = ( 1-Р)Р+4’ (7-4-49)
При использовании выражения (7.4.46) для р эти равенства упрощаются:
R' = V2 In р2
ЕехЮ
2Р— Г А_
4Р ‘
(7.4.50)
(7.4.51)
Решая (7.4.50) относительно р, получаем явное выражение
А
Eex(R') = f{\
1_е-2«'). (7.4.52)
Это справедливо для р ^ 1, или, комбинируя (7.4.45) и (7.4.50), для
V1
л
4
(7.4.53)
360
Из (7.3.33) следует, что R' связана со скоростью R соотношением
R' = R+ 1п~ ¦ (7.4.54)
N Ц
Параметр s задается соотношением (7.4.42) следующим образом:
2sgp = (l-f3)p + A = A, (7.4.55)
где было использовано соотношение (7.4.46). Подставляя это значение s в (7.4.40), получаем
2es6 0 ср ,/—i—гг Ае У 4nN . .
----m2sse I/ AnN = —------------ (7.4.56)
ц 4рР
Эти результаты подытоживаются в следующей теореме.
Теорема 7.4.4. Пусть для дискретного по времени канала с аддитивным гауссовым шумом переходная плотность вероятности имеет вид
