Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
(12.05) инвариантным неравенством
c2(t2 - txf - (г.2- ri)'3< 0. (12.06)
Неравенства (12.05) равносильны (12.06) и поэтому сами будут
инвариантными. Вещественную положительную величину
R = VI г7-(12.07)
мы будем называть пространственным интервалом между двумя квази-
одновременными событиями.
Покажем, что в случае двух квази-одновременных событий можно всегда
выбрать систему отсчета так, чтобы они были в ней одновременными, а в
случае двух последовательных событий можно
§ 12] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОБЫТИЙ ВО ВРЕМЕНИ 51
выбрать систему отсчета так, чтобы они имели в ней одинаковые
пространственные координаты.
Рассмотрим два квази-одновременных события, для которых разность to -1±
имеет заданное значение, удовлетворяющее неравенствам (12.05). Если мы
введем новую (штрихованную) систему отсчета, движущуюся относительно
старой со скоростью V, то, согласно формуле (10.30) для преобразования
времени, значение разности t' - t't в новой системе будет равно
ts -=
(ь -A-prOa-i-O-V). (12.08)
Относительную скорость V можно подобрать так, чтобы в новой системе оба
события были уже одновременными. Для этого достаточно положить
V = (r2- rt) • (12.09)
И силу неравенства (12.06) мы будем иметь
так что относительная скорость будет по абсолютной величине меньше
скорости света, как и должно быть для преобразования Лоренца.
Чтобы вычислить разность пространственных координат двух квази-
одновременных событий в той системе отсчета, где они одновременны,
напишем формулу преобразования Лоренца (10.32) в векторной форме:
Г' = г - W + - 1 j ^(V • Г - УЧ)¦ <12Л1)
Подставляя сюда вместо t разность - tx и вместо г-разность г.,- г1 и
заменяя V выражением (12.09), получим для величины г' = г' - г' значение
:(г2-гх) • ]/" 1 - = (Га - гД • j/~ 1
V2 (12.12)
Пространственное расстояние между обоими событиями в штрихованной системе
отсчета будет равно
\r[ - r[\ = R, (12.13)
где R есть пространственный интервал (12.07). Формула (12.13)
непосредственно вытекает из инвариантности величины R и из условия,
нто - - 0.
4*
52
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[гл. 1
Таким образом, физическое значение пространственного интервала между
двумя квази-одновременными событиями есть расстояние между ними в той
системе отсчета, где они одновременны.
Рассмотрим теперь два последовательных события, для которых выполняется
одно из неравенств (12.01) или (12.02). Покажем, что в этом случае можно
ввести новую (штрихованную) систему отсчета так, чтобы пространственные
координаты обоих событий в ней совпадали. Чтобы убедиться в этом,
достаточно ввести в формулу (12.11) вместо t разность t2 - tL и вместо г
- разность г2 - rt и положить
V = (12.14)
Тогда вектор г'~ г'0-г' обратится в нуль, откуда
г; = г;. (12.15)
Вследствие неравенства (12.03) скорость V будет при этом по абсолютной
величине меньше скорости света
ПС с2. (12.16)
В новой системе отсчета промежуток времени между обоими событиями будет
равен, согласно (12.08),
l~S- (|2Л7)
При t.2 - tt > 0 получаем отсюда
t2 -1[- Т, (12.18)
где Т есть временной интервал (12.04).
Тем самым выясняется физическое значение временного интервала Т. Это есть
протекший между двумя последовательными событиями промежуток времени в
той системе отсчета, в которой оба события произошли в одной точке. Такая
система отсчета имеет весьма наглядный смысл. Это есть, скажем, часы,
прямолинейно и равномерно движущиеся от места первого события к месту
второго, причем движение их происходит с такой скоростью, что они как раз
успевают поровняться с местом первого события, когда оно там происходит,
и с местом второго события, когда там наступает оно.
Заметим, что понятие "последовательные события" сбаадает свойством
транзитивности: если дано, что второе событие наступило абсолютно позже
первого, а третье событие-абсолютно позже второго, то отсюда следует, что
третье событие наступило абсолютно позже первого. Это физически очевидное
свойство может быть формально
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОБЫТИЙ ВО ВРЕМЕНИ
53
доказано следующим образом: из двух неравенств
^2 ^1 ^ "JT I r2 rl I " *3 ^2 ^ I Г3 (r)*21 (12.19)
вытекает путем сложения третье неравенство
Ч~ к >\ 1гз-'ril> (12.20)
ибо сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны. Понятие же
"квази-одновременные события" свойством транзитивности не обладает: если
дано, что два события квази-одновременны, а третье событие квази-
одновременно со вторым, то это третье событие может быть, по отношению к
первому, как квази-одновременным, так и последовательным (наступить
абсолютно раньше или абсолютно позже первого).
Резюмируем сказанное. В теории относительности события разделяются, в
отношении их последовательности во времени, на последовательные и квази-
одновременные, причем разделение это не зависит от системы отсчета. Двум
последовательным событиям можно сопоставить инвариантный временной
интервал, равный промежутку времени между ними в определенной системе
отсчета. Двум квази-одновременным событиям можно сопоставить инвариантный
