Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, пространственные компоненты, согласно (85.48), равны
(91.04)
[ nj {Xi (gi*g°° - g/°g*°) + g*>g*° - Г 900} dS. (91.05)
7t2M2 Uimw'xi 4 da W
Cbri ~T C5 #2 • (91.06)
,
/*3г9 Л v . fit г>Ъг 1 "
c3r3 dxj dt c3r
7-flMP* , tmF*x{xk ¦ 4 d2Wj
i _j_____ "
сьР c5 dt2
(91.07)
&tk - + dt2 Jr Dik
| p (XjXjVft + XjXjPi - XiXbVj) {dxf
fM2x{xjc
c3r*
(91.08)
432 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ f
Г Л. VII
В формулах (91.06) - (91.08) мы вместо Xi и Pt написали X* и чтобы
подчеркнуть векторный характер этих величин. Величина Dj. имеет значение
(85.39), а именно:
При подстановке в формулу (91.08) для д<7с достаточно сохранить в D}i
главные члены, представляющие обычные моменты инер-
новой зоне.
В выражения для д00 и д01 входят также члены, содержащие W и Wt и
представляющие поправки на запаздывание. Эти члены приближенно равны:
Выписанные здесь выражения для д^ содержат величины М, Р*,
Mik, N\Xi - РЧ, постоянство которых выражает механические законы
сохранения. Мы должны поэтому ожидать, что эти величины совпадают
"• * _ * *
со значениями интегралов М, Pi, Mih, Mi0, представляющих полную массу,
количество движения и т. д. для всей системы, включая и поле. Проверим
это.
Нам надлежит подставить выражения (91.06) - (91.08) для дг-'1 в
поверхностные интегралы (91.01) - (91.05) и приближенно вычи-слить их.
При вычислении мы будем сохранять в М и Pi члены порядка ф/с1 по
отношению к главным, а при вычислении М{к и Mi0 мы для простоты
ограничимся главными членами.
Если не считать поправок на запаздывание, то во всех первых производных
от дрт членами, медленнее всего убывающими с расстоянием, будут члены
порядка 1 /г2, нечетные в координатах xv х2, х3.
Исключение представляет производная обратно пропорциональ-
ная г (и четная в координатах). Что касается поправок на запаздывание, то
они, вообще говоря, убывают медленнее, но поправка
Dji (0 = J рх(х, {1 +1 (1 v* + II -1 {/)] (dxf +
+ jpW(dx)3- (91.09)
ции. Аргументом в D}i является время t, а не т = t- -, как в вол-
V д*г d'L Зсв дх{ дхк dxi dt3
4 d4V; f xj dWj,
cb dfi c5 r dfi
(91.11)
§ 911 законы сохранении для поля и интегралы механики 433
в члене убывает тоже как 1 /г2, и будет тоже нечетной относительно хи х2,
х.л.
Имея в виду эти замечания, составим входящее в формулу (91.01) #
для М выражение
щ (rft9°° - g*°0*0) = Я<7' ^ - if7 (91.12)
Правая часть получается из левой после замены суммирования по k
суммированием по ос (включая я = 0) и учета условия гармония-
*
ности. Так как для вычисления М достаточно знать нечетные в координатах
члены порядка 1/г2, то в выражении (91.12) мы можем заменить вне знака
производных величины gF" их предельными значениями. Сделав это, получим:
лг,^_ао"^°-------------------------------------/91 ion
9 дх, 9 дх,~ Cdxt с дС (91.13)
Это приближение годится и при учете поправок на запаздывание, если иметь
в виду их порядок величины относительно qlc.
Используя формулы (91.06) и (91.07) для д00 и д4°, умножая (91.13)
на "? = -у- и суммируя по г, получаем для подинтегральной функции в
(91.01) выражение:
¦ СП.
dg00 ni ^8г0 - 4-fAl I у ___________3/г/г ID ("91 14В
4 dxi с dt c%r2' ' гУ 6ninj) uiy (91.14)
Нетрудно видеть, что в правой части второй член пропорционален
шаровой функции второго порядка и при интегрировании по поверх-
*
ности сферы дает нуль. Первый же член дает для интеграла М значение
М=М. (91.15)
*
Таким образом, полная масса системы М, включающая массу поля,
совпадает, в данном приближении, с механической массой М.
*
Аналогично вычисляется величина Pi. Мы имеем приближенно и далее
_ г и - dg* - 4? тн
сп) dxj с } dt - №
- W П) ^ (8w ~ Uktll) % J 'ViXkXl (dX)i- (91 ¦17)
Здесь сохранены члены порядка <?2/с2 по отношению к главному,
и в них разложение по обратным степеням г доведено до 1/г3. При
28 Зак. 485. В. А. Фок
434 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. V"
составлении выражения (91.17) были использованы оба члена в поправке на
запаздывание (91.11).
В правой части (91.17) второй и третий члены пропорциональны шаровым
функциям, и при интегрировании в (91.02) они дают нуль. Первый же член
дает
Р* = Р{. (91.18)
Полное количество движения также совпадает с механическим.
Переходим к вычислению Mik. Мы имеем в данном приближении
nj (Гд0< - ^30ft) - -с (nlcfi - п?к). (91.19)
Используя формулу (91.16), а также очевидное равенство
nixj = njxi, (91.20)
*
мы можем написать интеграл (91.03) для Mik в виде
тг)"
Для вычисления интегралов, содержащих -потребовалось бы
знать вплоть до величин, убывающих как 1/г3 (мы имеем в виду члены в $>к,
содержащие с3 в знаменателе). Но в § 84 с\зк было определено только
вплоть до членов, убывающих как 1/гэ. Хотя вычисление недостающих членов
не представляет принципиальных затруднений, мы можем без него обойтись,
если ограничимся в (91.21)
да{к
главными членами и учтем, что интегралы, содержащие -gj-t Дают
к ним поправки порядка q^/c1. Для подинтегральной функции в (91.21) мы
