Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
вида
J U00 {dxf = - J niU0i dS, (89.13)
jt f IP* {dxf = - J nkU** dS, (89.14)
где tii есть вектор нормали к поверхности. Если поверхность,
ограничивающая объем, есть сфера, мы можем положить
"j=3; dS = r2dw, (89.15)
где dio - элемент телесного угла.
Вследствие симметрии величин U^, из формул (89.11) вытекают также
соотношения, аналогичные (31.06) и (31.01), которые после интегрирования
дают:
| J {XiWk - xkW*) {dxf = - J п} {XiUjk - хки**) dS, (89.16)
~ J (х4U00 - tU0i) {dxf = ~ f "i {XiUi° - tVi0 dS. (89.17)
422 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гл.
VII
Выясним физический смысл объемных интегралов, стоящих в левой части этих
уравнений. Положим *)
М = с2 J и00 (dxf, (89.18)
Р* = с2 J Uc* (dxf, (89.19)
с2 J (Xj U0k - xk U'H) (dxf, (89.20)
c2 J (XiU00 -¦ tU0i) (dxf. (89.21)
№
МР-
[Мы обозначили величины (89.18) - (89.21) звездочками сверху,
чтобы не смешивать их с константами, введенными при решении
*
уравнений механики.] Величина М есть полная масса системы, включая массу,
принадлежащую полю, заключенному внутри данного объема. * * Величины Р{
представляют, количество движения, а величины Mik-
*
момент количества движения системы. Величины Мт можно написать в виде
Ма = MX* - РЧ, (89.22).
* * где X* - координата центра тяжести системы. Отсюда ясно, что М*°
представляют величины, входящие в закон движения центра тяжести.
Значение объемных интегралов (89.18) - (89.21) может несколько изменяться
в зависимости от размеров области интегрирования. Это происходит в силу
того, что поле также обладает энергией, количеством движения, и т. д.
Однако из дальнейшего (§ 90) будет ясно, что при надлежащем выборе
области интегрирования возникающая отсюда неопределенность в значении
интегралов ничтожна по сравнению с самими этими значениями.
Покажем теперь, что не только производные по времени от величин (89.18)-
(89.21), но и сами эти величины могут быть представлены в виде интегралов
по поверхности. Чтобы выяснить это, рассмотрим структуру выражений
(89.10) для U1М. Полагая p. = v = 0, будем иметь
(52
16uyf/00 = jx~dx (Грд°° - Я"V0)- (89.23)
При а = р = 0, а также при а = 0, р = i (где ? = 1, 2, 3)
выражение справа обращается в нуль. Поэтому фактически значки
а, р
в (89.23) пробегают только пространственные значения, и мы можем написать
= аЙ^<в"в°°-""в*")- (89.24)
*) Мы будем писать здесь при Мк, Р\ X1 верхние значки.
ФОРМУЛИРОВКА, ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
423
откуда
м = ^ J щ 00- й<ов") dS_ (89 25)
Аналогично (89.24), мы будем иметь
1 &^иы = (г^°г-rW' (89-26)
где j пробегает только пространственные значения, а а - также и значение
а = 0 (заметим, что значение а = i фактически отсутствует). Подстановка
(89.26) в объемный интеграл (89.19) дает
^=w / nJ A (s^Di - dS- (89-27)
Из формулы (89.26) легко выводится соотношение 16iq (хги0к - хки° 0 = щ
{х,; ^ (g^g0* - д"Уй) -
"х* А (9^м-r^Jt)+з?7сй01-зл0№ Ь (8э-28>
правая часть которого представляет сумму производных по пространственным
координатам. Подставляя (89.28) в (89.20) и применяя теорему Гаусса -
Остроградского, получаем для момента количества движения выражение в виде
интеграла по поверхности:
'"'* = Т§7 | п11 <"*v* - 9"л -
- Ч gje (Г?< - 0еVO + 0*0°* - 0^0№ ) dS- (89.29)
*
Наконец, первый член выражения (89.22) для М{0 может быть написан в виде
= -ПЙ7 J "11 * <41w ¦- ^ +
+ gi0g,:0 - g^g00) as. (89. зо)
Таким образом, все величины (89.18) - (89.21) представлены в виде
поверхностных интегралов. Значения их зависят только от поведения
потенциалов тяготения на больших расстояниях.
При написании законов сохранения в дифференциальной форме мы использовали
симметричную систему *) величин №\ определяемых формулой (89.09); эти
величины представляют, как мы указывали, аналог контравариантного
симметричного тензора. В литературе
*) Симметричная система величин используется также в книге Л. Л а н-дау
иЕ. Лифшица .Теория поля* рз].
424 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гл. VII
принято, однако, начиная с первых работ Эйнштейна, пользоваться другой
системой величин, представляющих аналог смешанного (несимметричного)
тензора и определяемых следующим образом.
В конце § 60 была выведена формула для вариации интеграла действия,
согласно которой
8 J LV^gidx) = J (89.31)
Здесь L есть функция Лагранжа (60.23), а через (dx) обозначено
произведение четырех дифференциалов
(dx) = dx0 dxt dx.2 dxa. (89.32)
Вследствие
bga[i - - gaVg'^gV'' (89.33)
формулу (89.31) можно также написать в виде
8 J LY~^g(dx) =- J - - g(dx). (89.34)
Полагая
?Г = ^, (89.35)
мы можем определить "частные производные0 по и по gv-'1 формулой
8(LV^g) = d(L^gfg) ^ (89-36)
Подстановка (89.36) в (89.34) и интегрирование по частям дают для
умноженного на У -g консервативного тензора
= (89.37)
выражение
V=gOr = - d--(L ~T~ ¦ (89.38)
дха dg"' dg^
Введем теперь систему величин tif, определяемых формулой
2 y-gw; = ф д-а^7~ ~ Sp (L V=g)- (89-39)
Составляя сумму производных от (89.39) по и пользуясь (89.38), получим
