Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
эрмитовы операторы:
* х 1 Л
х° ~ ТГ ~ ты Ру'
(12.16)
" у I Л
У о 2 m(0 Р*'
Из формул (12.16) следует, что координаты центра окружности не
коммутируют и не могут быть определены одновременно:
Hi
ты'
Используя решение (12.15) для классических уравнений движения, можно
найти вид операторов х, у в гейзенберговском представлении. Представим
решение (12.15) в виде
х (/) = A cos to/ - Ё sin (?>t -f- х0,
<1217)
у (/) = A sin to/ + В cos to/ + у0,
где А и В - операторы, не зависящие от времени. Положив в уравнениях
(12.17) / = 0 и потребовав, чтобы
х(0) = х, у(0) = у,
определим выражение для операторов А, В. Окончательно получим ;
* _ Р-'Л
2 ПКй ¦ '
(12.18)
-Л Л. \ /Л. Л \
" ?i)COSrt + [p* + y\.
2 ты/ [та 1 2 J
Таким образом, операторы в гайзенберговском представлении зависят от
времени периодически. Это означает, что у любого волнового пакета,
который при / = 0 может быть описан функцией вида
ТГ(Л', у, ?) - ф (х, у) Ф (г),
поперечная часть ф (х, у) примет первоначальную форму
242
// (О
= [^-L + -4) sin (r)/ + (
\mio' 2 / ' \
*(/) =
Р и ты
cos to/ +
Рх \ ты
-§- sinto/ +
через время
Т =
2я
совпадающее с периодом классического движения заряда в магнитном поле.
5. Рассмотрим движение заряженной частицы со спином 1/2 в магнитном поле.
Уравнение Паули имеет вид.
itl
dt
= й(р-та)ч-л((r)н)т-
Очевидно, в постоянном и однородном поле еЗГ* ВФ могут-быть представлены
в виде произведения орбитальной и спиновой функций, причем собственными
спиновыми функциями будут состояния с заданной проекцией спина на
направление поля:
Ул - I + ) -
ill
О
При учете спина энергетический спектр имеет вид
: По
ЕР = Па[п-{- Yj+2m-
(12.19)
/ Рассмотрим случай зависящего от времени поля. Нестационарное уравнение
Паули имеет вид
Hi
dt
ф1 = НС Ь
Фа Фг
Но №
|Ф1
Фа
(12.20)
где Нс - гамильтониан заряженной частицы без спина
(12.1). Представим волновую функцию в виде произведения двух зависящих от
времени частей:
% (О
= <р(г, 0
S2 (О
(12.21)
где функция <р является решением уравнения
'т^ = йс ф.
.Подставляя (12.21) в уравнение (12.20), для спиновой функции получим
уравнение движения
Si (А
Si (0
Если магнитное поле однородно, //= Шг (/), то уравнение (12.22)
распадается на пару уравнений:.
i%
iti
r = - Но Ж (0 si, df = (t) s2.
Эти уравнения могут быть проинтегрированы:
Si = Ci exp ^ <3^ (t) dtj, So - c2 exp ^ ^ 3? {t) dt^,
где константы Ci и c2 определяются начальными условиями.
Отметим, что вероятности проекций спина на направление магнитного поля со
временем не меняются.
г->
V /
О
х
а
У
Рис. 42.
6. Рассмотрим движение заряженной частицы со спином в неоднородном
магнитном поле (опыт Штерна - Герлаха). Форма полюсных наконечников
электромагнита и расположение координатных осей изображены на рис. 42.
Плоскость гОу является плоскостью симметрии магнитного поля. При малых
значениях г, х напряженность поля можно представить в виде
?fx = kx, Я^" = 0, ъ%Гг = ЗГ0-1гг. (12.23)
Для простоты рассмотрим движение в таком поле ней-
тральных частиц с магнитным моментом р и спином 1/2 (нейтрон, атом
водорода). Пусть волновой пакет, описывающий состояние частицы,
характеризуется при / = 0 средними значениями
х = у = г = О, х=г = О, I)=v.
Если размеры волнового пакета малы по сравнению с областью, в которой
применимы формулы (12.23), то уравнение
244
Паули можно записать в виде Фг
№ А
~ 2т
pi I | f jO 1 cyf* .1 01 ъу- Шг\
, +I'{| о "ЛГ-+ о -1Г'/к ¦
Ф1
ь
Уравнение для каждой из компонент имеет вид Щг = - 2т Д1)'! +llkx ^2 +
р(^°о - кг) Ъ.
(12.24)
= - 2" Агр2 + р/гхгрх - ц(*>Г0 - кг) ф2.
Будем искать решение этой системы в виде
= ut exp (- i t), ф2 = Ъ exp i U (12.25)
Подставляя (12.25) в (12.24), получим
ifliii - - ~п AUi + \ikxu2 exp t - [ikzux,
(12.26)
ihu2 = - ~ Au2 + iikxuL exp ^/j + pfen2.
Экспоненциальные функции в правых частях уравнений осциллируют с периодом
п
Т = 2п-
м^Го •
. Для значений поля Ю3 гс и магнитных моментов
порядка боровского магнетона
eh
^ 2тс
. время осцилляций Тя" 10 10 сек мало по сравнению с характерным временем
пролета частиц через систему
- А x - L/v.
Приняв длину полюсов магнита L- 1 см, а скорость , частиц v я" 103 м/сек
(порядка тепловых скоростей моле-: кул), получим тг" 10 Б сек. Усреднив
уравнения (12.26) по промежутку времени At при условии
т,
245
получим пару независимых уравнений для усредненных функций "х" и1-
1ПЧГ = ~ 2т - ilkzui '
itl4F = - '2/пЛы2
Каждое из этих уравнений имеет вид нестационарного УШ для частицы в
однородном поле, направление которого зависит от значения проекции спина.
Поскольку средние значения z для каждого нз пакетов удовлетворяют
классическим' уравнениям движения, то среднее значение ~ будет
увеличиваться для частиц в состоянии j +) и уменьшаться для частиц в
состоянии | -). При достаточно большом времени пролета смещение волновых
пакетов может значительно превышать их ширину. На выходе из прибора
падающий пучок частиц расщепится на два пучка, в каждом из которых
