Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
+ оо 2
W = ~^dEvP(v) J F0ve'"vofdt .
- СО
Пусть на систему в течение времени Т действует возмущение
V (t) = Ьегш. (11.35)
Тогда интеграл по t вычисляется элементарно:
. 4 sin2 С)^0-=-С)- Т
W = -w ) Р (v)! fov I2 dEv.
При больших Т функция
sin2 tdvo~ Т F (v, Т) = 4-,-------^Цх-
V ' (Шзд - СОц)2
меняется значительно быстрее, чем р (v) и | v0v |2. Эти функции можно
вынести из-под интеграла, взяв их значение в точке максимума F(v, Т) -
точке to = cov0. Тогда
. 2 - (0 гр
ш - Р (g+) 1 цо+12 С h. 4_______2
W~ Й2 ) П 4 ("Ovo-О))2
Вычисление интеграла по to0v элементарно:
W = p{E+)M^T. (11.36)
Таким образом, вероятность перехода в состояния непрерывного спектра под
действием возмущения (11.35) пропорциональна длительности его действия.
Иными словами, вероятность перехода в непрерывный спектр в единицу
времени постоянна. Формула (11.36) называется золотым правилом.
Отметим аналогию между формулами (11.32) й (11.36): их можно записать в
виде
W'oi 2п II/ ]2
= TT|Voi| ^(Ef-Et-M,
где 6-функция указывает на необходимость интегрирования по dE (с весом р
(Е)) в случае перехода в непрерыв-
231
ный спектр пли по do (с весом / (to)) в случае перехода под действием
некогерентного поля.
9. Состояния непрерывного спектра обычно вырождены. Если при ^ = 0
система находилась в состоянии ¦фо (Е) - собственном состоянии
гамильтониана Н0, то под действием постоянного возмущения V система может
перейти в другое собственное состояние гамильтониана
л
Но - Ф\'(Е). соответствующее той же энергии. Вероятность такого перехода
дается, согласно (11.36), формулой
Рассмотрим в качестве примера одномерное движение. Состоянию с данной
энергией соответствуют две ВФ свободного движения:
Рассмотрим переходы между этими состояниями в слабом постоянном поле V
(х). Вводя "длину периодичности" L, получаем
Отношение вероятности перехода за единицу времени к плотности потока в
одном из состояний ф+, ф- есть, по определению, коэффициент отражения
Для потенциального барьера U(x) = qb{x) из формулы
(11.38) следует:
что совпадает с результатом задачи 3.5 при R(E)^ 1.
Отметим, что формула (11.38) дает одинаковые выражения для потенциалов
притяжения и отталкивания оди-
232
Wov = p(E)\Vw\*^T.
(11.37)
ф+ = е'кх, 4]x. = e-'fc-v.
Вероятность перехода за время Т
\ U (х) егШхЬ~1 dx
2
- со
2
?(?) = $ \ U(x)er(tm)*dx . (11.38)
-ОО
наковой формы. В главе 3 мы видели, что коэффициент отражения резко
меняется при изменении знака Е - V и становится малым лишь при E>U.
Поэтому (11.36) относится к надбарьерному отражению. Значение R (Е) по
•порядку величины есть ?~2т~2. При т^1 условие применимости теории
возмущений (Е 2 <П) противоположно условию применимости метода ВКБ f?2
1).
10. В трехмерном случае вычисление вероятности переходов между
состояниями с ВФ - плоскими волнами
ф = ехр/~,
различающимися лишь направлениями р, в поле U (г) приводит, при
использовании (11.37), к борцовскому приближению для сечения рассеяния. В
общем случае прямая задача теории рассеяния также может быть
сформулирована как задача о переходах. Пусть функция ф(?) удовлетворяет
УШ
Й§ = (Я0+У)ф, (11.39)
где Н0 не зависит от времени. Проведем унитарное пре-. образование:
. л .HJ
Ф(t,.x) = e л ф(<, x), h(t)=e л Vе h '
Тогда (11.39) примет вид
ih ^ = йф. (11.40)
Представление (11.40) для уравнений движения называют представлением
Дирака или представлением взаимодействия. Введем унитарный оператор U
(tlt t.,) такой, что
U(tu t2)(p(t2) = (p(t1). (11-41)
Из определения (11.41) следуют свойства оператора U:
0(Ь,Ь)=\, U+(tu t2) = U(t2, h),
U (Л > 4) U (4> ^з) = U (fit кооператор U (tu t-i), описывающий эволюцию
системы,
233
удовлетворяет уравнению движения
f)1 J Л А
ih ~= h(t)U, или, в интегральной форме,
^1
V (4. 4) = 1 - -)r ^ h (т) U (т, 4) dr.
^2
Пусть ф_ и ф+ - начальное и конечное состояния системы. Оператор U (4, 4)
ПРН 4 -*¦ - 00 будем обозначать и+((), a U (4 4) при 4 -> + оо будем
обозначать U-{t):
Ф (0 = П+ (4 ф.
Предел оператора U+(t) при t -> -|- со мы будем называть оператором
рассеяния S:
S = lim U+(t).
Оператор S унитарен, так как по определению унитарен U. Физический смысл
оператора S очевиден: если ф_ - начальное состояние системы, то S(p- = ф+
есть соответствующее конечное состояние. Пусть при t-> dzco внешнее
воздействие V (t) адиабатически выключается. Тогда начальное состояние ф_
и конечное состояние ф+ = 5ф_ можно разложить по СФ гамильтониана Н0.
Пусть ф_ = ф", где а - набор значений интегралов движения гамильтониана
Н0. Вероятность перехода в состояние срь есть
Ща = | <Фб I S | фа> |2.
Из рассмотрения, проведенного в п. 11.8, следует, что переходы возможны
только при равенстве энергий начального и конечного состояний. Элементы
S-матрицы суть функции интегралов движения. Для случая рассеяния в
центральном поле S-матрпца содержит только диагональные элементы SlL FE =
S/ (k), свойства которых рассматривались в главе 9.
'ЗАДАЧИ
1. Определить зависимость от времени дисперсии координаты волновых
