Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
Во-первых, релятивистские поправки к атомным уровням энергии хотя и малы
по сравнению с самими значениями уровней, но все же являются
существенными. Относительную величину поправок для спектра
водородоподобных ионов можно оценить отношением Еп1 к энергии покоя
электрона
Даже для атома водорода (Z= 1) ЬЕ(г) г*~> 10~4?" и значительно превышает
экспериментальные ошибки в определении разности энергий. Для ядер с
большими зарядами поправка еще значительней.
Вогвторых, спиновый момент частиц, свойства которого рассматривались в
главе 4, в нерелятнвнстском приближении входит в теорию лишь
кинематически. В частности, в главах 5 и 8 мы вообще не рассматривали
зависимость ВФ от спиновых переменных. Это оправдано лишь при
рассмотрении движения одной частицы в электрическом поле. Зависимость
энергетических уровней одной частицы от спиновых переменных есть
релятивистский эффект, который может проявляться и в иерелятивистской
области.
В этой главе мы рассмотрим следующие из релятивистских волновых уравнений
поправки к уравнению Шредингера, оставляя в стороне вопросы
последовательной релятивистской теории.
1. В иерелятивистской квантовой механике движение
системы описывается уравнением первого порядка по вре-
198
мени. То же должно иметь место и в релятивистской теории: задание
состоянии системы в некоторый момент времени должно определять ее
дальнейшую эволюцию. Поэтому уравнение движения должно иметь вид
ih^- = Hxp.
Релятивистское волновое уравнение должно быть одного порядка по временной
и пространственным производным. Поэтому наиболее общин вид
релятивистского гамильтониана для свободной частицы есть
Н- с(ар)-{-тс2$, (Ю-1)
где р -обычный оператор импульса. Коэффициенты введены в это определение
так, чтобы аир были безразмерными. Из требования эрмитовости
гамильтониана имеем
а = а+, Р = Р+.
Потребуем, чтобы для свободного движения частицы
с импульсом р выполнялось обычное соотношение релятивистской механики
е2 = с2р2-ф/?г2с\
где е означает релятивистскую энергию частицы, включающую энергию
покоя. Тогда должно выполняться
равенство
Я2 = nftc1 р2+тс? (Ра -фар) р -ф
+ ~ с {щак -ф а*а,) ptpk = т?с1 -ф с2р2.
Таким образом, величины аир должны удовлетворять условиям 4
Р2-1, (Ю.2)
раф-ар = 0, (10.3)
+ а*а, = 28,*. (10.4)
Очевидно, эти требования нельзя выполнить, если считать и р обычными
числами, но можно выполнить, если _ считать их матрицами.
2. Рассмотрим свойства матриц р и а( (t = l, 2, 3).
Из условий (10.2) н (10.4) следует
а7' = а(, р'х = р.
199
Из (10.3) получаем
а/1 ра, = - (5, Sp (а,-'1 (}а,)
= SpP = - SpP = 0.
Матрица р может быть приведена к диагональному виду. Из условий
Sp р = 0, р2=1
следует, что в диагональной форме на главной диагонали матрицы р стоят в
равных количествах числа +1 и -1. Таким образом, а, и р суть матрицы
четного порядка. Перенумеруем компоненты так, чтобы матрица р имела вид
/ о 0-/
(10.5)
где / - единичная субматрица. Рассмотрим условие (10.3). Представим
матрицу а, разбитой на субматрицы того же порядка, что и р в формуле
(10.5). Тогда
0
а,р + ра, = 2
Pi
0
= 0.
(10.6)
Следовательно, p, = s, = 0. Из условия эрмитовости матрицы а, следует
а, =
0 q;
п 0
¦ а[
Qi - rf,
о
4t ¦¦ qt .
(10.7)
Используя эти соотношения вместе с равенством (10.4), придем к формуле
qiqi+q^qt=26,*. (io.8)
Пусть i Д k. Тогда, перенося второй член в каждой из формул (10.8) в
правую часть и перемножая все три равенства, получим
= - qiqtq*qtqiqt-По теореме о произведении определителей
Det (qiqtqrfiqaql) = Det (qiqzqaljtqtqt) =
= Det (- q,q\q3qtqiqt) = (- 1)Л' Det (q^qsqtqiqt),
где N есть размерность матриц qh Таким образом, N должно быть четным
числом. При i = k из (10.8) следует, что субматрица qt должна быть
унитарна. Итак, условиям
200
(10.2), (Ю.З), (10.4) могут удовлетворить только матрицы размерности 4/(.
Пусть К= 1. Уравнение
~ М"р) + тс2р]ф (10.9)
для четырехкомпонентной функции ф, где а, и {3 суть матрицы четвертого
порядка, называется уравнением Дирака.
Субматрицы второго порядка, удовлетворяющие соотношениям (10.8), нам уже
известны (см. главу 4): это матрицы Паули
0 11 0 - i 1 0
"1 = 1 о|' о2 = i 0 , °3 - 0 -1
Итак, в представлении, в котором f> имеет вид (10.5),
Такое представление мы будем называть стандартным.
3. Умножим уравнение Дирака (10.9) на р/с. Тогда его можно записать в
виде
[iftp - flap - mcji|) = 0. (10.11)
Найдем унитарный оператор, осуществляющий преобразование поворота системы
координат. Выберем представление, в котором в новой системе координат
волновая функция ф имеет тот же вид как функция независимых
переменных, что и в старой (см. п. 4.10). Поскольку
при пространственном повороте р преобразуется, как вектор, то для того,
чтобы уравнение (10.11) обладало правильными трансформационными
свойствами, величина (5а также должна преобразовываться, как вектор.
Оператор, осуществляющий преобразование р, известен. При повороте вокруг
оси г он имеет вид
