Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
[Y" Yy] = -X" [Уу, Yj = -Xxf [Yz, YJ Ху>
[Х" YJ = 0, [Х", YJ = 0, [Х" Yz] = 0, (15.32)
[Х" Y"] = Yz, [Ху, Yzi = Yx, [Х" Yj = Yy,
[Ху, Yj = Yz, [Xz, YJ = -YX, [X" Yz,] - Yy.
Заметим, что линейные комбинации
A, = t(X, + *Y,), B4 = l(X4-fY4) (15.33)
Пространство и время
91
удовлетворяют гораздо более простым перестановочным соотношениям:
[АЛ, Ау] Аг, [А^, Аг] = Ах, [Az, Ад.] = Ау, ".. [Вх, By] = Bz, [Ву, вг] =
вх, [вг, вх] = ву ( ¦ >
И [А,, В,-] = 0 при любых q и q'. Другими словами, если рассматривать А4
и Bq как инфинитезимальные операторы, то они соответствуют прямому
произведению двух групп, так как все операторы Aq коммутируют с
операторами Bq. Кроме того, перестановочные соотношения (15.34) говорят о
том, что по отдельности операторы Aq и Bq удовлетворяют перестановочным
соотношениям (7.25) для группы 5i3. Таким образом, Aq и Bq являются
инфинитезимальными операторами группы 5t3x5t3. Но это отнюдь не означает,
что группы 3? и $t3xlh3 изоморфны, так как группе 3? соответствуют
операторы Х?, с действительными коэффициентами, а группе Э13х&13 -
операторы А4 и Bq тоже с действительными коэффициентами. Тем не менее мы
сможем получить неприводимые представления группы 3? из неприводимых
представлений группы Э13хЭ1ъ, поскольку при этом мы будем исходить, как и
в гл. 7, § 4, лишь из алгебры инфинитезимальных операторов.
Д. Неприводимые представления
Теперь оставим базисное четырехмерное пространство, в котором задано
действие группы Лоренца, и займемся представлениями в более общих
векторных пространствах. Но мы сохраним обозначения, принятые для
инфинитезимальных операторов, и если в предыдущем пункте символами Aq и
Bq обозначались 4 х 4-матрицы, то в дальнейшем ими будут обозначаться
операторы, действующие в некотором векторном пространстве, являющемся
пространством представления. Из общей теории (гл. 7, § 1) известно, что
коммутаторы инфинитезимальных операторов имеют один и тот же вид во всех
представлениях и, следовательно, могут быть заданы соотношениями (15.32).
Поскольку структура неприводимых представлений D(7> группы т,3 была
получена в гл. 7, § 4, п. Б на основе только перестановочных соотношений,
а представления прямого произведения двух групп задаются двумя индексами,
каждым из которых определяется неприводимое
92
Глава 15
представление одной из этих групп, конечномерные неприводимые
представления группы Лоренца могут быть заданы парой индексов j и
принимающих, как и в случае группы ZA3, значения 0, 1/2, 1, 3/2 и т. д.
Размерность этих представлений, которые мы будем обозначать символом
равна (2/-J-1) (2/' + ]). Можно по-
казать, что те представления, у которых оба индекса / и /' целые числа, а
также те, у которых оба индекса j и /' полуцелые, являются однозначными;
представления же с одним целым и одним полуцелым индексом двузначны.
Эти два индекса можно интерпретировать, рассматривая собственные значения
двух операторов Казимира (гл. 7, §5): A2 = AJ-f А* + А*. В2 = В| +В2 +В2.
Учитывая формулу (7,36) и множитель i, введенный непосредственно перед
формулой (7.26), получаем, что собственные значения операторов А2 и В2
равны -/(/+1) и -/' (/, + 1)-Можно также (и в дальнейшем это будет
удобнее) использовать следующие комбинации инфинитезимальных операторов:
X2-Y2 = 2 (A2-f В2) с собственным значением
-2{/(/+1)-И'(/' + 1)}, (15 35)
X"Y = -i (А2 - В2) с собственным значением + (/'+!)}•
Базисные векторы пространства представления можно
обозначить через еЦ'т,, где, как и в случае группы Я3, нижними индексами
ш=/, (/-1), ..., -j и ш' = /', (/'-1), . . ., -/' обозначены собственные
значения операторов Аг и Вг. А именно, используя формулы из гл. 7, § 3,
п. Д, получаем
Az?mm' = ^ j ^ 36)
= ДЛ е,"т'.
Сами 4 х 4-матрицы преобразований Лоренца образуют однозначное
четырехмерное представление, которое не может быть ничем иным, как
представлением U1/*- '/"). Для того чтобы проверить это, нужно лишь по
формулам
Пространство и время
93
(15.31) и (7.24) вычислить матрицы /-2 О О 0\ /
x>-yJ 1-3
-2 0 0 °\ /1 0 0 0
0 - -2 0 0 ) 10 1 0 0
0 0 - -2 0 \° 0 1 0
0 0 0 о/ \о 0 0 3.
и X • V = О, что совпадает с формулами (15.35) при / = = /' = 1/2. Можно
пойти и дальше и получить матрицы операторов Хя и Y4, исходя из выражений
для матриц инфинитезимальных операторов группы 913 [формулы (7.40) и
(7.39)]. Так, например, матрицы (15.31) можно путем соответствующего
изменения базиса получить из матриц инфинитезимальных операторов в
представлении D(1T) (задача 15.5). В частности, отметим, что Хг=Аг+Вг и
из выражений (15.36) вытекает, что базисный вектор вт/n' пространства
представления !_(Д Т) является собственным вектором оператора Xz с
собственным значением, равным -и преобразуется по представлению Т(т+т')
ГруППЫ ^ физических вращений относительно ОСИ Z.
Разложение произведения двух неприводимых представлений группы S
определяется соответствующим разложением для группы вращений. Результат
таков:
