Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
/is + /34
D(/")0D</")= 2 D</)-
/"I /18 " / S 4 I
Каждая из этих операций выполняется однозначно и дает набор базисных
векторов, который мы обозначим символом | /12/34, /т>. Другой набор
базисных векторов можно получить, взяв множители в исходном произведении
в другом порядке; например, если взять D<''>0D(b> и 0) а затем D(,'">0
D(/">, то мы получим базисные векторы |/18/24, /пг>. Преобразование,
связывающее указанные два набора базисных векторов, обычно ззли-
(П5.6)
(П5.7)
384
Приложение 5
сывают в виде
/lt/s4> /Я*>=(r) S [(2/l2+ 1) (2/34 -}- 1) (2/13+1) (2/24+1)]i/iX
/1. /м
/ * • " \ h la ha
la h /34 /is /*4 / ,
I /13/241 /">, (П5.8)
причем набор значений / в больших фигурных скобках называется 9/-
символом. Поскольку функции с разными / или т взаимно ортогональны, в
сумме (П5.8) значения /и т фиксированы; применив повышающий оператор J+,
нетрудно показать, что эти коэффициенты не зависят от т. Из способа их
построения явствует, что любой из базисных векторов в обеих частях
равенства (П5.8) может быть записан в виде суммы векторов | m1m.2m3tni'>
в простом мультипликативном базисе с коэффициентами, равными
произведениям трех коэффициентов Клебша-Гордана. Поэтому в силу их
ортогональности можно из выражения (П5.8) получить выражение для 9/-
символа в виде суммы по произведениям шести коэффициентов Клебша-Гордана.
Но это не требуется, так как существуют таблицы 9/-символов.
Нормировочный множитель с квадратным корнем введен в формулу (П5.8)
потому, что при таком определении 9/-символ обладает большим числом
свойств симметрии. Отражение относительно любой из диагоналей не изменяет
его, тогда как перестановка любой пары строк или столбцов вводит
множитель (-1 )р, где р-сумма всех девяти значений / в 9/-символе.
Как некое обобщение теоремы Вигнера-Эккарта (7.53) можно рассматривать
то, что матричные элементы связанных операторов в связанной системе тоже
выражаются через 9/-символы. Рассмотрим систему из двух компонент,
например две частицы или орбитальный и спиновый угловые моменты одной
частицы. Будем различать компоненты индексами 1 и 2 и запишем связанную
волновую функцию в виде | j1j2]m>. Выберем неприводимые наборы
R^1' и операторов в каждой компоненте системы
(гл. 7, § 4, п. Е) и свяжем их друг с другом, образовав тем самым
неприводимый набор по отношению к одно-
Методы расчета атомной структуры
385
временным вращениям:
T(qK, = 2 C(kAK, q^QXX''- (П5.9)
QiQ 2
Оператор является единичным, если речь идет о
второй подсистеме, и, наоборот, оператор S^2' - единичный по отношению к
первой. На основании теоремы Вигнера-Эккарта и определения 9у-символа
[формула (П5.8)] находим
</1/а/'п|Т(оС)|/[ы'/п,> =
=(~1)2КС (j'Ki, tn'Qm) </,/,/1| Т<"> || Пы'У =
=(-1)2КС (j'Kj, m'Qm) [(2/' + 1)(2/С + 1)Х (/i Ь / ]
X (2/2 + l)]v.{ /[ /; /' </l/21; R№,)S(fc.)| /[/">. (П5.10)
(A Kj
Эту формулу можно получить, подставив все коэффициенты Клебша - Гордана,
которые фигурируют в левой части равенства (5.10), "размыкая" различные
связи и применяя теорему Вигнера-Эккарта для каждой подсистемы в
отдельности. Получающаяся сумма будет тогда тождественна сумме, стоящей в
формуле (П5.8). В этом нет ничего неожиданного, поскольку оазделение двух
компонент в (П5.10) во многом сходно с преобразованием (П5.8), если
учесть соответствие UiisisjJuiaJuitJ) -*
(/1/2Ш2//Важное значение формулы (П5.10) состоит в том, что в ней
зависимость матричного элемента от К, j и у' дается в явном виде
известными функциями, причем не требуется детального определения
операторов. Если в мультипликативном базисе j уф/а/прп,,) волновая
функция разделяется, то разделяется и приведенный матричный элемент:
<ы, || r<^s^> |: = </, || r<m 1 /;>¦</, л s'*.> I/;>. (П5.11)
Имеется ряд частных случаев этих формул, и они чаще всего встречаются при
расчетах. Если один из элементов 9/-символа равен нулю, то две другие
пары должны быть равны друг другу в силу условия треугольности,
оставляющего только шесть независимых значений /. В этом
386
Приложение 5
случае записывают
|а Ь е \с d е
{f f о
= ( 1)Ь+с+-+/,-/а Ъ (П5.12)
[(2e+l)(2;+l)]'/* \d с f\ У '
и набор значений а, Ь, с, d, е, f в правой части называют 6/-символом.
Как и ранее, численный множитель в (П5.12) выделяют, чтобы наделить
большей симметрией 6/-сим-вол. В частности, последний не изменяется при
перестановке любой пары столбцов или при обмене любой пары значений в
верхней строке со стоящими непосредственно под ними в нижней строке. В
силу симметрии 9/-символа соотношение вида (П5.12) существует для любого
9/-сим-вола, один из элементов которого равен нулю.
Положив /4 = 0, получим из уравнения (П5.8) преобразование, связывающее
два набора неприводимых^базисных функций для системы с тремя значениями
j:
I /12/3, jm> = 2 (-1)'..+/"+'.+/. [(2/"+ 1) (2/u + 1)]'/.Х
/13
х(!-1 !12 мI/"/(п5лз)
I/ 113 1 з)
Из формулы (П5.10) можно получить два частных результата. Во-первых,
полагая S^a>= 1, т. е. считая этот оператор единичным с k2 = 0, мы
