Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
простых положительных корневых вектора, то вектор Р-а вообще не может
быть корневым.
Пусть Р - а=у, где у - положительный корневой вектор; тогда Р = у + ",
что противоречит определению вектора р как простого корневого. Так же
доказывается, что у не может быть отрицательным корневым вектором.
Однако могут существовать корневые векторы вида Р и, вообще говоря, будут
существовать последовательности корневых векторов Р-f а, Р + 2а, . .., р
+ "сс, обрывающиеся на некотором целом числе га; точнее, вектор Р + (я+
1)" уже не является корневым. Число га можно связать с самими корневыми
векторами соотношением
где скалярное произведение определено как се-р = 2а/Р/-
Этот общий результат можно следующим образом вывести из рекуррентного
соотношения. Пусть гаг-целое число и гаг ^ га; тогда в силу тождества
Якоби имеем
га = -2 (се • Р)/(ос • ос),
(20.29)
330
Глава 20
так что окончательно
(Р; "I"OltXj) Ep+ma = (A^p+moli аЛ^р+т0, + а> _а"•
i
Np+ma, -а^р+та-а, а) ^3 +Ш'
Если для краткости ввести обозначение А,л = ^Vp+mcc аХ
XNfi + тя, -а, со ТО ПОЛУЧИМ
a-ji + ma-a = - Л^ + Л^. (20.30)
Поскольку, как показано выше, разность р-а не является корневым вектором,
имеем JVp-a = 0, откуда А_х = 0. Тогда из рекуррентного соотношения
(20.30) следует, что
- Ат = (т.+ l)"'P+jm (т+ 1)а-а. (20.31)
Если п--последний номер последовательности (см. выше) то А^з+па, а = 0 и
Ап = 0; отсюда с учетом равенства (20.31) приходим к соотношению (20.29).
Из данного нами определения скалярного произведения следует неравенство
Шварца (ое-р)2^ (а-а) (р-Р), и, стало быть, из равенства (20.29) и
соответствующего равенства р = -2 (а-р)/(р.р) для p-последовательности ое
+ Р, а + 2р, ..., а + рР (р - целое число) имеем
-("•P)/(a.")V.(p.p)'/.= + (1 пРу*^ 1. (20.32)
Можно считать, что последним соотношением определяется угол между
векторами а и р. Из тех же двух равенств можно найти отношение длин
векторов
(Р-Р)/(ое-сс) = га/р. (20.33)
Значения числа п (и числа р) строго ограничены равенством (20.32), в силу
которого пр = 0, 1, 2, 3. (Значение 4 не допускается, так как тогда мы
имели бы а= - р, что противоречит определению величин а и Р как двух
положительных корневых векторов.) В итоге мы получаем возможность
перечислить все возможные наборы простых положительных корневых векторов
и на этой основе всех корневых векторов вообще с помощью всех возможных
последовательностей. В некоторых случаях удается построить р-
последовательность на корневых векторах р+та,
Дополнительные сведения (отдельные вопросы)
331
хотя векторы, кратные |3 + ое [например, т(р + а) при т> 1J, недопустимы.
Перечисление корневых векторов выполняется очень наглядно методом так
называемых схем (диаграмм) Дынкина. На них простой положительный корневой
вектор изображается точкой. Для каждой пары таких векторов величина пр
(определяющая угол между векторами) изображается пр прямыми линиями,
соединяющими соответствующие точки. Относительную длину двух корневых
векторов, соединенных такими прямыми, указывают иногда, помещая над
точками значения скалярного произведения а а. Число таких значений здесь
очень ограничено: при пр= 1 мы имеем п - р- 1 и, согласно формуле
(20.33), длины векторов одинаковы; при пр = 2 один из векторов вдвое, а
при пр = 3 - втрое длиннее другого. Задача определения всех возможных
диаграмм Дынкина значительно облегчается, если руководствоваться
следующими правилами, вытекающими из написанных выше соотношений.
1. Следует рассматривать лишь связные диаграммы, так как если диаграмма
распадается на две не связанные между собой части, т. е. не соединенные
линиями, то это означает, что корневые векторы в обеих частях диаграммы
взаимно ортогональны (а-р = 0); следовательно, группа представляет собой
прямое произведение и не является простой.
2. Среди диаграмм отсутствуют замкнутые петли. Пусть, например, векторы
се, |3 и у образуют замкнутый треугольник из одиночных линий. Тогда,
согласно формуле (20.32), при пр - 1 имеем а-р = Р-у = у-ос =- V2> где
для краткости мы ввели обозначения се = се/(се-a)1 Т и т. д. Далее,
поскольку векторы a, ji и у должны быть линейнонезависимы, должна быть
возможна запись се = &р + су + §, где | - вектор, ортогональный векторам
р и у и при этом отличный от нуля. Такая запись означает проектирование
вектора се на подпространство, определенное векторами Р и у, причем
вектор | лежит в ортогональном дополнительном пространстве. Коэффициенты
b и с даются в этом случае соотношениями Р-сс = 6ф-сР-у и у-се = 6у-р +
с. Учитывая, что каждое входящее в них скалярное произведение равно (-
V2), получаем 1-1 = 0, т. е. приходим к противоречию. Замкнутые петли с
большим числом сто-
332
Глава 20
рон исключаются по тем же соображениям, а использование двойных линий
только усиливает противоречие, так как приводит к результату |-§<0.
3. Максимальное число линий, исходящих из одной точки диаграммы, не может
быть больше трех. Пусть имеются корневые векторы а1, а2, ..., ар и все
