Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(г) из обычной группы Лоренца (гл. 15, § 2). Инфинитезимальными
операторами для новой группы являются Х2, У х и Yу, причем
перестановочные соотношения для них даются формулами (15.32):
[Y*. Уу\ = - Хг, [Хг, Ух] = Уу, [Хг, YJ = - Ух. (20 4)
Соотношения (20.4) совпадают с (20.3), если взять вместо Кх, К2 и К3
операторы 1Ух, tY и iX2. Множители i необходимы здесь, как обычно (гл. 7,
§ 2) для инфинитезимальных операторов унитарных преобразований,
порождаемых эрмитовыми операторами. Поэтому перестановочные соотношения
для не инвариантной группы, определенной операторами (20.2), точно такие
же, как и для группы За, и, следовательно, она локально изоморфна
последней. Мы не будем заниматься здесь вопросом глобальных
преобразований, т. е. вопросом о полном диапазоне значений параметров
группы. Инфинитезимальные свойства достаточны для нахождения
представлений, если только не ставить вопроса об однозначности.
Исследуем теперь так же, как в гл. 7, § 4, п. Б в случае группы 5?3,
унитарные неприводимые представления группы За- Прежде всего выберем
базис, в котором оператор К3, а следовательно, и энергия диагональны.
Напишем К3Фч = 1/2 (rt + V2) ф", выразив для удобства собственные
значения в знакомой форме энергий осциллятора. Это можно сделать без
потери общности, поскольку при столь общем анализе представлений группы
Зъ числа п пока еще не обязаны быть целыми числами и мргут быть
произвольными. Тогда два других оператора
310
Глава 20
группы Кх и К2 связывают между собой собственные функции с разными
энергиями. Очевидно, что если ввести операторы K± = K1=fcK2, то для них
будут выполняться соотношения
[К3, К±] = ± К±, [К+, К_] - -2К3, (20.5)
откуда видно, что К+ и К_-это повышающий и понижающий операторы для
энергии. Точнее, если Нфч = = (п + V2) Ф", то
Н (К±Фв) = 2К3К±Фч = 2К J(K3 ± 1) Ф" = (n +2) (К±Фв),
(20.6)
т. е. операторы К.± повышают и понижают энергию на две единицы Ла.
Оператор Казимира С для группы J?3, соответствующий оператору Р для
группы М3, дается теперь выражением
С = К? + К*-К1 = j (К+К_ + К_К+)-К23, (20.7)
где существенно изменение знака перед 3-й компонентой.
Если повторить теперь все шаги, сделанные в гл. 7, § 4, п. Б при
построении конечномерных унитарных неприводимых представлений группы то
мы придем к противоречию, так как для нормировочного множителя Ап,
определяемого соотношением
Фп+2 = ЛпК+фи, (20.8)
получается условие \Ап\ 2<0. Отсюда следует, что для группы 2?3 нет
конечных унитарных неприводимых представлений (если не считать
тривиального единичного представления). (Такой же вывод был сделан в гл.
15, § 2, п. Г в случае группы J?.) Поэтому мы исследуем возможность
бесконечномерных представлений. Это означает, что отсутствует ограничение
чисел п сверху или снизу.
Посмотрим сначала, к чему приводит отсутствие ограничений сверху.
Предположим, что существует наименьшее значение п = п0, при котором
К_Фло = 0. (20.9)
Собственные значения оператора Казимира в этом представлении можно найти,
написав выражение (20.7) в виде
Дополнительные сведения (отдельные вопросы) 311
с=к+к_ + к3 - К| и подействовав оператором С на функцию фЛо; получим
С = ^(1+2п0)(3-2п"). (20.10)
Это выражение остается тем же для всех базисных векторов фч в данном
представлении. Взяв в качестве исходного состояния ф"о, используем далее
повышающий оператор К+ для построения набора всех фл, где ti - nQ-|-2f (t
- целое число). [Напомним, что, согласно формуле (20.5), оператор К+
увеличивает собственное значение оператора К3 на 1 и, следовательно,
увеличивает число п на 2.] Чтобы обеспечивалась унитарность
представления, матрицы инфинитезимальных операторов Кх, К2 и К3 должны
быть эрмитовыми. Отсюда следует, что числа п и п0 должны быть
действительными. Условие эрмитовости означает также, что К+ = К_. Поэтому
из соотношения (20.8) находим
\А"\~* = (ФК-К+Ф") = (ф", (С + К§-К.)Фл) =
= ^{(1 +2л0) (3 - 2л0)-(-(1 -f-2n)(5-f- п)} =
== f (п "Ь по Н" 1) (п-по + 2). (20.11)
Чтобы не было противоречия, это выражение должно быть неотрицательным при
л^п0, что приводит к условию n0>-V2, причем значению n0 = -У2
соответствует единичное представление. При п0 = -1/ъ и п > п0 величина
(20.10) не равна нулю, а поэтому при каждом пп существует
бесконечномерное унитарное неприводимое представление Т<п°>. Правда, не
все такие представления могут быть реализованы в задаче об осцилляторе,
ибо при учете явного вида (20.2) операторов группы и перестановочных
соотношений (19.3) оператор Казимира (20.7) сведется к константе С=3/1в.
Подстановка этого значения в выражение (20.10) приводит к двум
возможностям: п0 = 0 или п0= 1. Тогда собственные функции должны
принадлежать представлению Т<0) с п = 0, 2, 4, ... или представлению Т(1)
с п=1, 3, 5, ... . Таким путем мы перебираем весь спектр одномерного
осциллятора в рамках двух неприводимых представлений неинвариантной
группы J2V Каким образом собственными значениями
312
Глава 20
